所以{Sn(x)}在(-∞,+∞)上一致收敛 (2) d d x=0 S,(x) (1+n2x2)2 o(x)=limS,(x) n→∞dx 0x≠0 取 则 12 Sn(n)-o(xn) 0(n→∞), 所以{S,(x}在(-a+∞)上不一致收敛。 (3)由于在x=0处, lim Sn(x)=0, o(x)=lim S, o dx 所以在x=0处, m+ d Sn(ar)=d lim Sn(x) 不成立 4.设S(x)= arctan x,则函数序列{Sx)}在0.+∞)上一致收敛:试 问极限运算与求导运算能否交换,即 d Sn(x Sn(x dx 是否成立? 解 Sn(xF-arcta S,(x) S(x)=lim Sn(x)=0, S(x)=0 所以 lim s(1)=1≠S(1),即 H→① limS(x)=.lim Sn(x) d x 在x=1不成立 5.设Sn(x)=nxe-,其中a是参数。求a的取值范围,使得函数序列 S(x)}在[0,上 (1)一致收敛 (2)积分运算与极限运算可以交换,即 lim S, (x)dx=[lim,(x)dx 3)求导运算与极限运算可以交换,即对一切x∈[0,1成立 lim.Sm(x) d m Sn(x) d所以{Sn(x)}在(−∞,+∞) 上一致收敛。 （2） S (x) dx d n 2 2 2 2 2 (1 ) 1 n x n x + − = ， ( ) lim S (x) dx d x n n→∞ σ = ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = 0 0 1 0 x x ， 取 n xn 2 1 = ，则 ( ) n n S x dx d 25 12 −σ (xn ) = ─/→ 0（n → ∞）， 所以 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ( ) d d S x x n 在(−∞,+∞) 上不一致收敛。 （3）由于在 x = 0处， d x d n→∞ lim Sn(x) = 0， ( ) lim S (x) dx d x n n→∞ σ = = 1， 所以在 x = 0处， n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 不成立。 4. 设Sn(x) = n 1 arctan x n ，则函数序列{Sn(x)}在(0,+∞)上一致收敛；试 问极限运算与求导运算能否交换，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 是否成立? 解 Sn(x)= n 1 arctan xn， n n n x x S x 2 1 ' 1 ( ) + = − ， S(x) = n→∞ lim Sn(x) = 0，S'(x) = 0， 所以 '(1) 2 1 lim (1) ' S S n n = ≠ →∞ ，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 在 x = 1不成立。 5. 设Sn(x) = ，其中a是参数。求a的取值范围，使得函数序列 {S nx n xe α − n(x)}在[0,1]上 ⑴ 一致收敛； ⑵ 积分运算与极限运算可以交换，即 n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx = S ∫ →∞ 1 0 limn n(x) dx； ⑶ 求导运算与极限运算可以交换，即对一切 x∈[0,1]成立 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 。 6