由于 S,(x)-S(x)= 2x(x+-)(√x+1x+-)4 可知 d(Sn,S)=sup Sn(x)-S(x)=sn(8)-S(8) δ+--√δ6 →0(n→∞), 所以{S(x)}在,+∞)上一致收敛 2.设S(x)=m(xn-x2"),则函数序列{S(x)}在[0上收敛但不一致 收敛,且极限运算与积分运算不能交换,即 imnS)dx≠mS(x)dxs 证函数序列{S(x)在[上收敛于S(x)=0。取xn=1-1,则 S(xn)-S(xn)=n(1-)”-(1- →)+ 所以{Sn(x)}在0上非一致收敛。 由于 lim [s, (x)dx= lim m(x-x2mydx=t, lim Sn(x)dx=0 n→)0 所以 lim S,(x)dx+[lim S,(x)dx 3.设S(x)=1+nx2,W (1)函数序列{Sx)}在(-∞+∞)上一致收敛; dx()在(+2)上不一致收敛 (3)极限运算与求导运算不能交换,即 lim d sn(x)= lim S,(x) x 并不对一切x∈(-∞,+∞)成立 解(1)S(x)= (x)=0,则 S,(x)-S(x) 0(n 11+n2x22n由于 [ ] 0 4 1 ) 1 )( 1 2 ( 1 ( ) ( ) 2 3 + > + + + − − = x n x x n x x S x S x dx d n ， 可知 ( , ) sup ( ) ( ) [ , ) d S S S x S x n x n = − ∈ δ +∞ S (δ ) S(δ ) = n − δ δ δ 2 1 1 +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + − n n → 0 (n → ∞)， 所以{S x n ( )}在[ , δ +∞)上一致收敛。 2. 设Sn(x) = n( n x - n x 2 )，则函数序列{S (x)}在 上收敛但不一致 收敛，且极限运算与积分运算不能交换，即 n [0,1] n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx ≠ ∫ →∞ 1 0 limn Sn(x) dx。 证 函数序列{Sn(x)}在[0,1]上收敛于S(x) = 0。取 n xn 1 = 1− ，则 Sn (xn ) − S(xn ) = → +∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − n n n n n 2 ) 1 ) (1 1 (1 ， 所以{Sn(x)}在[0,1]上非一致收敛。 由于 n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx →∞ = n lim n x x x n n ( )d 1 0 2 ∫ − 2 1 = ， S ∫ →∞ 1 0 limn n(x) dx = 0， 所以 dx n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n ≠ ∫ →∞ 1 0 limn Sn(x) dx。 3. 设Sn(x) = 2 2 1 n x x + ，则 ⑴ 函数序列{Sn(x)}在(−∞,+∞) 上一致收敛； ⑵ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ( ) d d S x x n 在(−∞,+∞) 上不一致收敛； ⑶ 极限运算与求导运算不能交换，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 并不对一切 x∈ (−∞,+∞) 成立。 解 （1）Sn(x)= 2 2 1 n x x + ，S(x) = 0，则 n x n x S x S x n 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 ≤ + − = → 0(n → ∞)， 5