第七章定积分 定积分量F是区间I的函数:F(),具有对区间的可加性 即,若l1和l2内部之交为空集,则有 F(1∪1)=F(1)+F(l) 解决定积分问题的两种思路: 元素相加法:利用定积分定义一个量 (1)分小取近似:M≈f(Ax (2)求和取极限 =m∑f()Ax=f(x) 微元分析法:通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 (1)分小取微分:M≈d=f(x)k (2)积分求增量:=「f(x)x=F(b)-F(a) 7-5-2定积分在几何方面的应用 求平面图形的面积 1)平面图形的面积是什么 看作己知面积的图形对该图形“度量”的结果。可称之为“测度”。 设欲度量的图形为G,通常做法是用两种多边形P和Q,其面积分别为 Sp,S,使得: PCGCO:取S,=Sp(S),S=(S) 如果有S,=S=S,显然可认为图形G的面积是S 2)各种坐标系下的计算公式? 在直角坐标系下: 可x △S≈f(x)-g(x)Ax S=[(x)-g(x)k, 其中,b≥a 在参数方程表示下: d xi kr+4x b 0 x=x y=yo p() S=CI(x()-g(x()x(dr AS 第七章定积分第七章 定积分 第七章 定积分 定积分量 F 是区间 I 的函数: F(I) ，具有对区间的可加性: 即，若 1 I 和 2 I 内部之交为空集, 则有 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 F I I = F I + F I 。 ⚫ 解决定积分问题的两种思路： 元素相加法： 利用定积分定义一个量。 (1) 分小取近似: ( )i i I  f  x ; (2) 求和取极限:   =  = = → b a n i I lim f ( i ) xi f (x)dx 1 0   微元分析法: 通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 (1) 分小取微分: I  dI = f (x)dx ; (2) 积分求增量: I f (x)dx F(b) F(a) b a = = −  . 7-5-2 定积分在几何方面的应用 ⚫ 求平面图形的面积： 1)平面图形的面积是什么？ 看作己知面积的图形对该图形“度量”的结果。可称之为“测度”。 设欲度量的图形为 G ，通常做法是用两种多边形 P 和 Q , 其面积分别为 : S P SQ , , 使得 : P  G  Q : 取 ( ) P P S* = Sup S , ( ) Q Q S = Inf S * . 如果有 S = S = S * * , 显然可认为图形 G 的面积是 S . 2)各种坐标系下的计算公式？ 在直角坐标系下： S  f (x) − g(x)x ; S f x g x dx b a = ( ) − ( ) , 其中， b  a 在参数方程表示下： ( )  ( )   = = y y t x x t , S = f x t g x t x (t)dt t t −   2 1 ( ( )) ( ( )) y y=f(x) ΔS y=g(x) a x x+Δx b 0 x  = () ρ+dρ ΔS φ ρ