定理7任意n+1个n维向量必线性相关。证略 四、向量组的秩 定义4设a12a2,…,Cm是一个向量组T中的m个向量,如果满足: ①a12a2,…,n线性无关 ②T中任一向量a可由a1,a2,…,∝m线性表示。 则称a1,a2,…an是向量组T的一个最大无关组。 定义5向量组T的最大无关组所含的向量个数,称为T的秩,记为R(T) 注:若R(T)小于T所含向量个数,则T线性相关(定理2) 定理8设矩阵A 的行向量组为T a1=(a1,a12,…a1n,a2=(a21,a2,…,a2n), R(A)=R(T)(证略) 利用定理8可将求向量组的秩转化为求矩阵的秩。 例3求下列向量组的秩,并求一个最大无关组 (1)a1=(1,100),a2=(10,1),a3=(2,-1,3,3) (2)B=(,0.10),B2=(2l-1-3),B3=(1.0-3,-1)B4=(0,2,-6,3) 1100 100 00 解:(1)令A=1011->0-1110-111 2-133 0-333 0000 R(A)=2,所以R(a1,a2,a3)=2,且a1,a2是一个最大无关组 a3-302+1a1=6即a3=3a2-a 1010 (2)令B=/1-1-3 00-4-1 00-4-1 02-63 02-63 0009 所以R(B)=4,R(B1,B2,B3,B4)=4,故B1,B2,B3,B4线性无关当然为最大无关组。定理 7 任意 n+1 个 n 维向量必线性相关。证略 四、向量组的秩 定义 4 设    m , , , 1 2  是一个向量组  中的 m 个向量，如果满足： ①    m , , , 1 2  线性无关； ②  中任一向量  可由    m , , , 1 2  线性表示。 则称    m , , , 1 2  是向量组  的一个最大无关组。 定义 5 向量组  的最大无关组所含的向量个数，称为  的秩，记为 R() 。 注：若 R() 小于 T 所含向量个数，则  线性相关（定理 2）。 定 理 8 设矩阵 mn =               m m mn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 的 行 向量组为  ： ( , , , ), 1 11 12 1n  = a a  a ( , , , ) , 2 21 22 2 n  = a a  a , ( , , , ) m m1 m2 mn   = a a  a 则 R(A) = R(T) （证略） 利用定理 8 可将求向量组的秩转化为求矩阵的秩。 例 3 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组 （1） (1,1,0,0) 1 = ， (1,0,1,1) 2 = ， (2, 1,3,3) 3 = − （2） (1,0,1,0) 1 = ， (2,1, 1, 3) 2 = − − ， (1,0, 3, 1) 3 = − − (0,2, 6,3) 4 = − 解：（1）令  =           2 −1 3 3 1 0 1 1 1 1 0 0 →           − − 0 3 3 3 0 1 1 1 1 1 0 0 →           − 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 R(A) = 2， 所以 R(1 , 2 ,3 ) = 2，且 1 2  , 是一个最大无关组。 3 − 3 2 +11 =  即 3 = 3 2 −1 （2）令 B               − − − − − = 0 2 6 3 1 0 3 1 2 1 1 3 1 0 1 0 →               − − − − − 0 2 6 3 0 0 4 1 0 1 3 3 1 0 1 0 →               − − − − 0 0 0 9 0 0 4 1 0 1 3 3 1 0 1 0 所以 R() = 4， R(1 , 2 , 3 , 4 ) = 4，故 1 2 3 4  ,  ,  ,  线性无关当然为最大无关组