·494· 工程科学学报，第40卷，第4期 双端固支梁 上电极 一质量块 y0=Y·sinwt 驻极体 下电极 R 图3静电俘能器示意图 图2静电转换器的等效电路模型 Fig.3 Schematic diagram of the electrostatic energy harvester Fig.2 Equivalent electric model of the electrostatie converter 公式可知： 而=而+安 1 (2) 1 EoS 即： C(=1 (3) 1 +-x0 图4静电俘能器样机 cO+c Fig.4 Prototype of the electrostatic energy harvester 其中：E。是空气介电常数，S是驻极体的表面积，g 表2 Simulink模型参数 是初始空气间隙，E,是驻极体的相对介电常数，d是 Table 2 Fixed parameters of the Simulink model PP驻极体薄膜的厚度. 参数 数值 由基尔霍夫定律可知： 刚度系数，k/(Nm) 6235.1 dQ.(t)'.Q.(t) (4) 阻尼系数，c/(N·sm) 0.3 d山 =RRC() 移动质量，m/g 20 其中，V.是关于驻极体表面电荷Q的单调线性函 驻极体面积，S/mm2 15×15 数，即： 角频率，u/(adsl) 597.5 V.=C2 (5) 驻极体材料，M PP 空气介电常数，0 8.85×10-2 如图3和图4所示双端固支粱在外部恒定激励 相对介电常数，5， 2.3 加速度下，上电极与贴有PP驻极体薄膜的下电极 驻极体厚度，d/μm 50 组成平行板串联电容模型.此结构通过上下电极间 激励加速度幅值，a/(mg2) 2 的相对运动来改变平行板电容器的空气间隙，进而 改变电容值.下电极板贴有驻极体薄膜，利用空气 将上电极与驻极体隔开，通过负载电阻将上下电极 2 数值仿真 连接一起，构成闭合回路圆.由动力学方程和基尔 由于很难得到公式(6)的解析解，建立其Mat- 霍夫定律可得： lab/Simulink模型，如图5所示.驻极体静电能器的 mx+cx+kx-Fale -mg -my 输出功率的表达式为： do,(V.Q (t) (6) dt=R-RC() P=1 (9) t2-tJn 其中，y是激振台的外部激励位移，x是上、下极板运 其中，t,和t2是Simulink动态数值仿真的稳定时 动的相对位移，c是质量一弹簧组成的二阶振动单元 间点. 的阻尼系数，k是弹簧的刚度系数（见表2），当弹性 2.1空气间隙 梁的变形较小时，刚度可以通过下式得到： 如图6所示，当外界激励加速度幅值和驻极体 k=交E3 (7) 面积保持定值时，通过Simulink数值分析可知：随着 6L3 空气间隙的增大，输出功率先增大后减小，当间隙为 F是静电力，E是双端固支梁的弹性模量，由电容 0.l5mm时（最佳空气间隙），功率达到最大值为 电场能的积分可知： 0.92mW,V.为表面电位.如图7所示，随着空气间 F=d那=g) (8) 隙的减小，上、下极板间的静电力逐渐增大，软弹簧 dx 28,S 效应增强，弹簧的刚度系数减小，导致谐振频率从工程科学学报，第 40 卷，第 4 期 图 2 静电转换器的等效电路模型 Fig． 2 Equivalent electric model of the electrostatic converter 公式可知: 1 C( t) = 1 C1 ( t) + 1 C2 ( 2) 即: C( t) = 1 1 C1 ( t) + 1 C2 = ε0 S g0 + d εr － x( t) ( 3) 其中: ε0 是空气介电常数，S 是驻极体的表面积，g0 是初始空气间隙，εr 是驻极体的相对介电常数，d 是 PP 驻极体薄膜的厚度． 由基尔霍夫定律可知: dQt ( t) dt = Vs Ｒ － Qt ( t) ＲC( t) ( 4) 其中，Vs 是关于驻极体表面电荷 Q 的单调线性函 数，即: Vs = Q C2 ( 5) 如图 3 和图 4 所示双端固支粱在外部恒定激励 加速度下，上电极与贴有 PP 驻极体薄膜的下电极 组成平行板串联电容模型． 此结构通过上下电极间 的相对运动来改变平行板电容器的空气间隙，进而 改变电容值． 下电极板贴有驻极体薄膜，利用空气 将上电极与驻极体隔开，通过负载电阻将上下电极 连接一起，构成闭合回路［8］． 由动力学方程和基尔 霍夫定律可得: m x·· + c x · + kx － Fele － mg = － m y·· dQt ( t) dt = Vs Ｒ － Qt ( t) ＲC( t { ) ( 6) 其中，y 是激振台的外部激励位移，x 是上、下极板运 动的相对位移，c 是质量--弹簧组成的二阶振动单元 的阻尼系数，k 是弹簧的刚度系数( 见表 2) ，当弹性 梁的变形较小时，刚度可以通过下式得到: k = π4 6 ·EWh3 L3 ( 7) Fele是静电力，E 是双端固支梁的弹性模量，由电容 电场能的积分可知: Fele = dWe dx = Q2 t ( t) 2εrS ( 8) 图 3 静电俘能器示意图 Fig． 3 Schematic diagram of the electrostatic energy harvester 图 4 静电俘能器样机 Fig． 4 Prototype of the electrostatic energy harvester 表 2 Simulink 模型参数 Table 2 Fixed parameters of the Simulink model 参数 数值 刚度系数，k /( N·m － 1 ) 6235. 1 阻尼系数，c/( N·s·m － 1 ) 0. 3 移动质量，m/g 20 驻极体面积，S /mm2 15 × 15 角频率，ω/( rad·s － 1 ) 597. 5 驻极体材料，Mele PP 空气介电常数，ε0 8. 85 × 10 － 12 相对介电常数，εr 2. 3 驻极体厚度，d /μm 50 激励加速度幅值，a /( m·s － 2 ) 2 2 数值仿真 由于很难得到公式( 6) 的解析解，建立其 Mat￾lab / Simulink 模型，如图 5 所示． 驻极体静电能器的 输出功率的表达式为: P = 1 t2 － t1 ∫ t2 t1 Ｒ ( dQt d ) t 2 dt ( 9) 其中，t1 和 t2 是 Simulink 动态数值仿真的稳定时 间点． 2. 1 空气间隙 如图 6 所示，当外界激励加速度幅值和驻极体 面积保持定值时，通过 Simulink 数值分析可知: 随着 空气间隙的增大，输出功率先增大后减小，当间隙为 0. 15 mm 时( 最佳空气间隙) ，功率达到最大值为 0. 92 mW，Vs 为表面电位． 如图 7 所示，随着空气间 隙的减小，上、下极板间的静电力逐渐增大，软弹簧 效应增强，弹簧的刚度系数减小，导致谐振频率从 · 494 ·