习题127条件极值问题与 Lagrange乘数法 1.求下列函数的条件极值 (1)f(x,y)=xy,约束条件为x+y= (2)f(x,y,x)=x-2y+2,约束条件为x2+y2+z2=1 (3)f(x,y,)=x++,约束条件为 其中 Ax+B+C-=0, a>b>c>0,A2+B2+C2=1。 解(1)令 L(x,y,a) 求偏导,得到 L2=y-=0, =0, L2=-(x+y-1)=0 解得x=y=,即目标函数只有一个驻点 由 x+y)1 4’知是目标函数的条件极大值点,也是 条件最大值点,条件最大值为fm=f(,)= (2)令 L(x,y,,4)=x-2y+2z-(x2+y2+2-1), 求偏导,得到 L2=-(x2+y2+z2-1)习题 12.7 条件极值问题与 Lagrange 乘数法 1. 求下列函数的条件极值： （1） f (x, y) = xy，约束条件为 x + y = 1； （2） f (x, y,z) = x − 2y + 2z ，约束条件为 x 2 + y 2 + z 2 = 1； （ 3 ） 2 2 2 2 2 2 ( , , ) c z b y a x f x y z = + + ，约束条件为 其 中 ， 。 ⎩ ⎨ ⎧ + + = + + = 0, 1, 2 2 2 Ax By Cz x y z a > b > c > 0 1 2 2 2 A + B + C = 解 （1）令 L x( , y,λ) = − xy λ(x + y −1)， 求偏导，得到 0 0 ( 1) x y L y L x x y λ λ λ ⎧ = − = ⎪ ⎨ = − = ⎪ ⎩ = − + − = ， ， L 0, 解得 1 2 x y = = ，即目标函数只有一个驻点 1 1, 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠。 由 2 1 2 4 x y xy ⎛ ⎞ + ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ，可知 1 1, 2 2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟是目标函数的条件极大值点，也是 条件最大值点，条件最大值为 max 1 1 1 (,) 2 2 4 f f = = 。 （2）令 2 2 2 L x( , y,z,λ λ ) = x − 2y + − 2z (x + + y z −1)， 求偏导，得到 2 2 2 1 2 0 2 2 0 2 2 0 ( 1 x y z L x L y L z x y z λ λ λ λ ⎧ = − = ⎪ = − − = ⎪ ⎨ = − = ⎪ ⎪ ⎩ = − + + − = ， ， ， L ) 0, 161