文登学校 2005年数学一试题分析、详解和评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线y2x+1 的斜渐近线方程为y=x 【分析】本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可 【详解】因为a=lmnf(x)=imn b= lim [(x)-ax]=lim o (2x+1) 于是所求斜渐近线方程为y=x 【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线,是基本要求,应熟练掌握。这 里应注意两点:1)当存在水平渐近线时,不需要再求斜渐近线;2)若当x→>∞时,极限 a=lmn(x)不存在,则应进一步讨论x→+或x→一的情形,即在右或左侧是否存 在斜渐近线 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P192【例732】 (2)微分方程xy'+2y=xhx满足y(1)=-的解为y=xhx9 【分析】直接套用一阶线性微分方程y+P(x)y=Q(x)的通解公式: 再由初始条件确定任意常数即可 【详解】原方程等价为 ln 于是通解为y=“hx2+C]=订x2hxd+ 由y(1)=一得C=0,故所求解为y=xhx1 【评注】本题虽属基本题型,但在用相关公式时应注意先化为标准型.另外,本题也 可如下求解:原方程可化为 x2y+2xy=x2hx,即[x2y=x2hx,两边积分得文登学校 1 2005 年数学一试题分析、详解和评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线 2 1 2 + = x x y 的斜渐近线方程为 . 4 1 2 1 y = x − 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为 a= 2 1 2 lim ( ) lim 2 2 = + = → → x x x x f x x x ，   4 1 2(2 1) lim ( ) lim = − + − = − = → → x x b f x ax x x ， 于是所求斜渐近线方程为 . 4 1 2 1 y = x − 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这 里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当 x → 时，极限 x f x a x ( ) lim → = 不存在，则应进一步讨论 x → + 或 x →− 的情形，即在右或左侧是否存 在斜渐近线。 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.192【例 7.32】 （2） 微分方程 xy  + 2y = x ln x 满足 9 1 y(1) = − 的解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x . 【分析】直接套用一阶线性微分方程 y  + P(x) y = Q(x) 的通解公式：  +   = − [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx C P x dx P x dx ， 再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为 y x x y ln 2  + = ， 于是通解为   + =  +    = − [ ln ] 1 [ ln ] 2 2 2 2 x xdx C x y e x e dx C dx x dx x = 2 1 9 1 ln 3 1 x x x − x + C ， 由 9 1 y(1) = − 得 C=0，故所求解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x 【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也 可如下求解：原方程可化为 x y 2xy x ln x 2 2  + = ，即 [x y] x ln x 2 2  = ，两边积分得