文登学校 In xdx o 1 再代入初始条件即可得所求,\1x1 完全类似公式见《数学复习指南》(理工类)P154 (3)设函数l(x,y,z)=1+ 单位向量n=一(111,则 【分析】函数uxy2沿单位向量n={cosa,cosB,cosy}的方向导数为: coS a+coS B+cosy on 因此,本题直接用上述公式即可 【详解】因为如=x,a=y,a_三 3a6’a=9,是所求方向导数为 o 23)3√33333√33 【评注】本题若n={m,n,l}非单位向量,则应先将其单位化,从而得方向余弦为: cosa= cos B +n2+l m2+n2+ m+n 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P330【例1230】 (4)设2是由锥面z=√x2+y2与半球面z=√R2-x2-y2围成的空间区域,∑是 g2的整个边界的外侧,则xdhz+yta+dtcd=2m(1-)R 【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧,自然想到用高斯公式转化为三重积分,再用球 面(或柱面)坐标进行计算即可 【详解】』「xdd+yd+h=dh =adel sin odo de=27(-)R文登学校 2 x y = x xdx = x x − x + C  2 2 3 3 9 1 ln 3 1 ln ， 再代入初始条件即可得所求解为 . 9 1 ln 3 1 y = x x − x 完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.154 （ 3 ） 设函数 6 12 18 ( , , ) 1 2 2 2 x y z u x y z = + + + ， 单 位 向 量 {1,1,1} 3 1 n =  ， 则 n (1,2,3) u   = 3 3 . 【分析】 函数 u(x,y,z)沿单位向量 n = {cos,cos ,cos  }的方向导数为： cos cos  cos z u y u x u n u   +   +   =   因此，本题直接用上述公式即可. 【详解】 因为 3 x x u =   ， 6 y y u =   ， 9 z z u =   ，于是所求方向导数为 n (1,2,3) u   = . 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1  +  +  = 【评注】 本题若 n  ={m,n,l} 非单位向量，则应先将其单位化，从而得方向余弦为： cos , 2 2 2 m n l m + +  = cos , 2 2 2 m n l n + +  = 2 2 2 cos m n l l + +  = . 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.330【例 12.30】 （4）设  是由锥面 2 2 z = x + y 与半球面 2 2 2 z = R − x − y 围成的空间区域，  是  的整个边界的外侧，则   xdydz + ydzdx + zdxdy = 3 ) 2 2 2 (1− R . 【分析】本题  是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球 面（或柱面）坐标进行计算即可. 【详解】   xdydz + ydzdx + zdxdy =   3dxdydz = ) . 2 2 3 sin 2 (1 3 2 0 0 4 0 2 d d d R R    = −        