6.说明下列函数极限的情况: sInx (1) lim (2)lim e sin x x (3) lim xsin (4)lim|1+ (5)lim1+ (6)lim 7.设函数 2+er sin (x) 问当x→0时,f(x)的极限是否存在? 8.设lmf(x)=A(a≥0),证明:Iimf(x2)=A。 9.(1)设lmf(x3)=A,证明:limf(x)=A。 2)设limf(x2)=A,问是否成立imf(x)=A? 0.写出下述命题的“否定命题”的分析表述: (1){xn}是无穷小量 (2){xn}是正无穷大量 (3)f(x)在x0的右极限是A (4)f(x)在x0的左极限是正无穷大量 (5)当x→-∞,f(x)的极限是A (6)当x→>+∞,∫(x)是负无穷大量 1l.证明limf(x)=+∞的充分必要条件是:对于任意从右方收敛于x0的数列{xn}(xn >x0),成立 12.证明limf(x)=-∞的充分必要条件是:对于任意正无穷大量{xn},成立 lim fo 13.证明Iimf(x)存在而且有限的充分必要条件是:对于任意正无穷大量{xn},相应的函 数值数列{∫(xn)}收敛。 14.分别写出下述函数极限存在而且有限的 Cauchy收敛原理,并加以证明 (1) lim f(x):(2) lim f(x):(3) lim f(x) 15.设∫(x)在(0,+∞)上满足函数方程f(2x)=f(x),且limf(x)=A,证明 f(x)≡A,x∈(0,+∞) 习题3.2 1.按定义证明下列函数在其定义域连续 (2)y=sn-;6. 说明下列函数极限的情况： (1) lim x→∞ sin x x ; (2) lim x→∞ e sin x x ; (3) lim x→+∞ x x α sin 1 ; (4) lim x→∞ 2 1 1 x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ; (5) lim x→∞ x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; (6) lim x→ +0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x x 1 1 。 7．设函数 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = | | sin 1 2 ( ) 4 1 x x e e f x x x 。 问当 x → 0时， f (x) 的极限是否存在？ 8. 设lim = A（a≥0），证明： x a → f x( ) lim x a → f x( ) 2 = A 。 9. (1) 设 = A，证明： = A 。 0 lim x→ ( ) 3 f x 0 lim x→ f (x) (2) 设 = A，问是否成立 = A？ 0 lim x→ ( ) 2 f x 0 lim x→ f (x) 10. 写出下述命题的“否定命题”的分析表述： (1) { xn }是无穷小量； (2) { xn }是正无穷大量； (3) f x( ) 在 x0 的右极限是 A； (4) f x( ) 在 x0 的左极限是正无穷大量； (5) 当 x → − ∞ , f x( ) 的极限是 A； (6) 当 x→ + ∞ ， f (x) 是负无穷大量。 11. 证明 = 的充分必要条件是：对于任意从右方收敛于 的数列{ }（ ＞ ），成立 limx x → +0 f (x) + ∞ x0 xn xn x0 lim n→∞ f xn ( ) = + ∞ 。 12. 证明 = 的充分必要条件是：对于任意正无穷大量{ }, 成立 x→+∞ lim f (x) − ∞ xn lim n→∞ f xn ( ) = − ∞ 。 13. 证明 存在而且有限的充分必要条件是：对于任意正无穷大量{ }，相应的函 数值数列{ }收敛。 lim x→+∞ f (x) xn f xn ( ) 14．分别写出下述函数极限存在而且有限的 Cauchy 收敛原理，并加以证明： （1） lim ；（2） ；（3） 。 x x → 0 f x( ) limx x → +0 f x( ) lim x→−∞ f x( ) 15．设 f x( ) 在(0,+∞) 上满足函数方程 f (2x) = f (x) ，且 lim x→+∞ f (x) = A ，证明 f (x) ≡ A, x ∈ (0,+∞)。 习 题 3.2 1. 按定义证明下列函数在其定义域连续： (1) y = x ； (2) y = sin 1 x ； 2