《数学分析(1,2,3)》教案 第十九章积分(二重、三重积分,第一类曲线、曲面积分)的定义和性质 §1二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念 1.二重积分、三重积分,第一类曲线积分、第一类曲面积分都可看成已知物体的密度,求物体的质量。但 要看物体的几何形状。 2.几何体Ω上的黎曼积分的定义 定义1设Ω为一块几何形体,这个几何形体是可以度量的,在这个几何形体Q上定义了一个函数f(M) M∈g。将这几何形体分为若干可以度量的小块△g21,A2,…,A2。既然每一小块都可度量,故 它们皆有度量大小可言,把他们的度量大小仍记为A2(=1,2,…,m)。并令d=max{△Q的直径,在每 g一块△Q中任取一点M,做下列和式 ∑∫(M)△ 如果这个和式不论对于Ω的怎样分划以及M,在ΔΩ,上如何取法,只要当d→>0时恒有同一极限I,则称此 极限为∫(M)在几何形体9上的黎曼积分,记为: 1=f(M)dQ2 也就是 ∑f( M.)△C 这个极限是与分法和取法无关的。 E-6"叙述:如果对任意E>0及一定数Ⅰ,总存在一个数δ>0,对于任意的分法,只要d<δ时,不管 点M,在△g2上如何选取,恒有 <a 则称为f(M)在2上的黎曼积分,记为 1=J/(M)dQ2 这时,也称f(M)在g上可积。 根据几何形体Ω的不同形态,进一步给出Ω上积分的具体表示式及名称 (1)如果几何体Ω是一块可求面积的平面图形σ,那么σ上的积分就称为二重积分,在直角坐标下记为 J/(x,y)dxdy 19-1《数学分析（1，2，3）》教案 19-1 第十九章 积分（二重、三重积分，第一类曲线、曲面积分）的定义和性质 §1 二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念 1. 二重积分、三重积分，第一类曲线积分、第一类曲面积分都可看成已知物体的密度，求物体的质量。但 要看物体的几何形状。 2. 几何体  上的黎曼积分的定义。 定义 1 设  为一块几何形体，这个几何形体是可以度量的，在这个几何形体  上定义了一个函数 f M( ) ， M  。将这几何形体  分为若干可以度量的小块 1， 2 ，…， n 。既然每一小块都可度量，故 它们皆有度量大小可言，把他们的度量大小仍记为 i (i n =1, 2, , ) 。并令   1 max i i n d   = 的直径 ，在每  一块 i 中任取一点 Mi ，做下列和式： ( ) 1 n i i i f M =   如果这个和式不论对于  的怎样分划以及 Mi 在 i 上如何取法，只要当 d →0 时恒有同一极限 I ，则称此 极限为 f M( ) 在几何形体  上的黎曼积分，记为： I f M d ( )  =   也就是 ( ) 0 1 lim n i i d i I f M → = =   ， 这个极限是与分法和取法无关的。 " "  − 叙述：如果对任意   0 及一定数 I ，总存在一个数   0 ，对于任意的分法，只要 d  时，不管 点 Mi 在 i 上如何选取，恒有 ( ) 1 n i i i f M I  =   −  ， 则称 I 为 f M( ) 在  上的黎曼积分，记为： I f M d ( )  =   ， 这时，也称 f M( ) 在  上可积。 根据几何形体  的不同形态，进一步给出  上积分的具体表示式及名称。 （1）如果几何体  是一块可求面积的平面图形  ，那么  上的积分就称为二重积分，在直角坐标下记为 f x y dxdy ( , )  