《数学分析(1,2,3)》教案 (2)如果几何体Ω是一块可求体积的空间几何体V,那么V上的积分就称为三重积分,在直角坐标下记为 ∫(x,y2d (3)如果几何体Ω是一块可求长的空间曲线段l,那么l上的积分就称为第一类曲线积分,在直角坐标下记 为 ∫f(xy,=)d。 (4)如果几何体Ω是一块可求面积的曲面片S,那么S上的积分就称为第一类曲面积分,在直角坐标下记 为 3.性质 (1)J42=(2的度量) (2)若f(M)在上可积,则f(M)在上有界 §2积分的性质 性质1若函数f(M)在Ω上可积,k为常数,则kf(M)在2上也可积,且 k(22=kf(92d 即常数因子可从积分号里提出(注意与不定积分的不同)。 性质2若函数f(M)、g(M)都在9上可积,则∫(MO)±g(M)在息上也可积,且有 f(M)±g(M)g2=f(M)dg±g(M)dg2 性质3若函数f(M)在g上可积,且=9∪92,∩intg2=,则f(M)在1和2上都可积,且 2f(xk=/(k+[/(x) 反之,若f(M)在Ω1和92上都可积,则f(M)在Ω上可积,且上述等式成立 性质4若函数f(M)和(M)都在9上可积,且在上成立f(M)≤g(M),则 √(M)AsJ2s(M) 性质5若函数(M)在上可积,则(M在Q上可积、且M⊥o 注:若(M在上可积,不能推出f(M在Ω上可积。 x和y中至少有一个为无理数 例:f(x,y) -1,x和y都为有理数 19-2《数学分析（1，2，3）》教案 19-2 （2）如果几何体  是一块可求体积的空间几何体 V ，那么 V 上的积分就称为三重积分，在直角坐标下记为 ( , , ) V f x y z dxdydz  。 （3）如果几何体  是一块可求长的空间曲线段 l ，那么 l 上的积分就称为第一类曲线积分，在直角坐标下记 为 ( , , ) l f x y z ds  。 （4）如果几何体  是一块可求面积的曲面片 S ，那么 S 上的积分就称为第一类曲面积分，在直角坐标下记 为 ( , , ) S f x y z dS  。 3．性质 （1） d ( )   = 的度量 。 （2）若 f M( ) 在  上可积，则 f M( ) 在  上有界。 §2 积分的性质 性质 1 若函数 f M( ) 在  上可积， k 为常数，则 kf M( ) 在  上也可积，且 ( ) ( ) a kf d k f d      =   。 即常数因子可从积分号里提出（注意与不定积分的不同）。 性质 2 若函数 f M( ) 、 g M( ) 都在  上可积，则 f M g M ( ) ( )  在  上也可积，且有 [ ( ) ( )] ( ) ( ) f M g M d f M d g M d         =    。 性质 3 若函数 f M( ) 在  上可积，且  =   1 2 ， 1 2   =  int ，则 f M( ) 在 1 和 2 上都可积，且 1 2 f x dx f x dx f x dx ( ) ( ) ( )    = +    。 反之，若 f M( ) 在 1 和 2 上都可积，则 f M( ) 在  上可积，且上述等式成立。 性质 4 若函数 f M( ) 和 g M( ) 都在  上可积，且在  上成立 f M g M ( )  ( )，则 f M d g M d ( ) ( )        。 性质 5 若函数 f M( ) 在  上可积，则 f M( ) 在  上可积，且 f M d f d ( ) ( )         。 注：若 f M( ) 在  上可积，不能推出 f M( ) 在  上可积。 例： ( ) 1, , 1 x y f x y x y  =  − 和 中至少有一个为无理数， ， 和 都为有理数