由此也可得到(9.19)式。 U满足双调和方程，即 727U=( 2 、 rorg2=0 +,a+2+ (8.21) 8.2轴对称问题的应力和位移 几何形状和载荷都与环向坐标日无关的平面问题称为平面轴对称问题，对轴对称问题可 以假设应力函数只是”的函数，U=U(),代入双调和方程得 rdu +2-3-r22+rC=0 d3 2+r =0 (8.22) dr 这属于欧拉方程，引入变换r=e,t=lnr,可化为常系数微分方程， 4 dU *4 d=0 (8.23) 其通解为 U=At+Bte2 +Ce2+D=Alnr+Br2 Inr+Cr2+D (8.24) 其中A,B,C,D为任意常数。 应力分量为 京+B1+2Inr)+2C 0s、A +B3+2Inr)+2C (8.25) To=0 >位移场 将应力分量代入本构关系得 s=[1+)3+(1-3)B+21-v)B1nr+21-v ,=+%2=-1+w)+3-B+21-w0Bnr+2-wC (8.26) r roe E Ou,Ouo uo=0 ro0 or r 从(8.26)第一式积分得 4=21+4+20-nBm0r-0+-30snr+20-01+f@827 1 式中f()为B任意函数。 J5 由此也可得到(9.19)式。 U 满足双调和方程，即 2 22 2 2 2 2 22 2 22 U U ( )( ) 0 r rr r r rr r θ θ ∂ ∂∂∂ ∂∂ ∇∇ = + + + + = ∂∂ ∂∂ (8.21) 8.2 轴对称问题的应力和位移 几何形状和载荷都与环向坐标θ 无关的平面问题称为平面轴对称问题，对轴对称问题可 以假设应力函数只是 r 的函数，U Ur = ( ) ，代入双调和方程得 4 32 4 32 4 32 2 0 d U d U d U dU r rrr dr dr dr dr + − += (8.22) 这属于欧拉方程，引入变换 , ln t ret r = = ，可化为常系数微分方程， 432 432 44 0 dU dU dU dt dt dt − + = (8.23) 其通解为 22 2 2 ln ln t t U At Bte Ce D A r Br r Cr D = + + += + + + (8.24) 其中 A,,, BCD 为任意常数。 应力分量为 2 2 (1 2ln ) 2 (3 2ln ) 2 0 r r r A B r C r A B r C r θ σ σ τ ⎧ =+ + + ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ =− + + + ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩ (8.25) ¾ 位移场 将应力分量代入本构关系得 2 2 1 [(1 ) (1 3 ) 2(1 ) ln 2(1 ) ] 1 [ (1 ) (3 ) 2(1 ) ln 2(1 ) ] 0 r r r r r u A B Br C rE r u u A B Br C rr E r u u u r rr θ θ θ θ θ ε ν νν ν ε ννν ν θ ε θ ⎧ ∂ = = + +− + − + − ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ∂ ⎨ = + = −+ + − + − + − ∂ ⎪ ⎪ ∂ ∂ = + −= ⎪ ⎩ ∂ ∂ (8.26) 从(8.26)第一式积分得 1 [ (1 ) 2(1 ) (ln 1) (1 3 ) ln 2(1 ) ] ( ) r A u Br r B r Cr f E r = −+ + − − + − + − + ν ν ν νθ (8.27) 式中 f ( ) θ 为θ 任意函数