,=o,cos20+,sin20+Tm sin 20 c0s0 8 asin'g-o -sin 20 Oxoy o=,sin20+cos20-T sin 20 (8.14) ©sin'o+02 8'U. dxcos0+ 8U -sin 20 xo w÷℃ ax)sin0cos0-'U -cos 20 OxOy auau aU sin0 &x ar cos8、 00 r (8.15) aUaU aU cose -sin0+ dy or 00 r d=cos'ooU aU 2sin 20 a'U sin20 oU sin 20 aU sin20 U 0r2 (8.16) r r or r2 80 r2 002 aU =sin208+2sin200+og0-snn228%+os90% 02 r orde r or r2 00r 002 (8.17) ∂2U =sin0cosUcs20 U sincos0 aU Oxoy 3× r ord0 r or (8.18) cos20 aU sin0 cos0 82U r200 2 682 将(8.16)、(8.17)、(8.18)代入(8.14)，最后得到 aU aU 0.= ror r2802 aU 0g= or2 (8.19) T0=- ar ra0 实际上，Aiy应力函数只是应力函数的一种，应力张量可表示为 T=7×(-U)kk×7(k为z方向单位向量)，将极坐标中的Hamilton算子代入，得 T=(+0 g8)x(-U)kx(⊙+aa0。) rae aaU、 ao)er or roe00 r (8.20) aU 28 44 2 2 222 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 cos sin sin 2 cos sin sin 2 sin cos sin 2 sin cos sin 2 ( )sin cos cos 2 r x y xy x y xy r UUU y x xy UU U y x xy UU U x y xy θ θ σ σ θσ θτ θ θ θ θ σ σ θσ θτ θ θ θ θ τ θθ θ = ++ ∂∂∂ = +− ∂ ∂ ∂∂ =+ − ∂∂ ∂ =++ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ =− − ∂ ∂ ∂∂ (8.14) sin cos cos sin UU U x r r UU U y r r θ θ θ θ θ θ ∂∂ ∂ = − ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ = + ∂∂ ∂ (8.15) 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2sin 2 sin sin 2 sin cos U U UUU U x r r r rr r r θ θθθ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂ = − +++ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (8.16) 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2sin 2 cos sin 2 cos sin U U U UU U y r rr rrr r θ θθθ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂ = + +−+ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (8.17) 2 22 2 2 2 22 cos 2 sin cos sin cos cos 2 sin cos U UU U x y r rr r r U U r r θ θθ θ θ θ θ θθ θ θ ∂ ∂∂ ∂ = +− ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − − ∂ ∂ (8.18) 将(8.16)、(8.17)、(8.18)代入(8.14)，最后得到 2 2 2 2 2 ( ) r r U U rr r U r U r r θ θ σ θ σ τ θ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ (8.19) 实际上， Airy 应力函数只是应力函数的一种，应力张量可表示为 T =∇× − ×∇ ( ) U kk ( k 为 z 方向单位向量)，将极坐标中的 Hamilton 算子代入，得 00 00 00 0 0 00 2 2 2 0 0 ( )( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] U rr rr UU U U U rr r r r r r r r U r θ θ θθ θ θ θ ∂∂ ∂∂ = + ×− × + ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ =+ − + − ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ + ∂ T r kk r rr r r θ θ θ θ θ θ (8.20)