-EO-E 8, 、1 6二E Vor (8.8) 1+,e Ere E E=E,V=v plane stress 其中 E E=- -4=-v plane strain。 >应变协调方程 7×T×7=0 8.9) 8 0 0 (a0ro )E,+- 、ras)-20c8e)=0 (8.10) r2or or r2 or 80 或从几何方程(8.5)式消去位移u,和u。，也可得到上式。 Laplace算子7在极坐标中的表达式 7.(p)=7p (8.11) V-(Vo)-(roar e+80）=0e+即+0g rae'or2 ror r2e2 (8.12) 所以72= rror00 >应力协调方程 无体力时为V(0+0,)=0,0+0,是不变量，所以0+0，=0，+0g,极坐标中应力 协调方程为72(o,+0g)=0。 >Airy应力函数 由应力张量在坐标变换下的规则，极坐标下应力张量为 cosθ cos0 -sin -sin0 cose八g,八sin0cos9 (8.13) 33 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r r r r r E E E E E θ θ θ θ θ ν ε σ σ ν ε σ σ ν ε τ = − = − + = (8.8) 其中 1 1 1 1 2 , plane stress , plane strain (1 ) 1 E E E E ν ν ν ν ν ν ⎧ = = ⎪ ⎨ = = ⎪ ⎩ − − 。 ¾ 应变协调方程 ∇× ×∇ = Γ 0 (8.9) 2 2 22 2 2 2 ( ) ( ) ( )0 r r r r r rr r r r r r θ θ ε ε ε θ θ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −+ − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ (8.10) 或从几何方程(8.5)式消去位移 r u 和uθ ，也可得到上式。 ¾ Laplace 算子 2 ∇ 在极坐标中的表达式 2 ∇ ∇ =∇ i( ) ϕ ϕ (8.11) 2 2 00 0 0 2 22 ( ) ( )( ) r r r r r rr r ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∇∇ = + + = + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ i i r r θ θ (8.12) 所以 2 2 2 2 22 r rr r θ ∂∂∂ ∇= + + ∂∂∂ 。 ¾ 应力协调方程 无体力时为 2 ( )0 ∇ += σ σ x y ，σ x +σ y 是不变量，所以σ xy r +σ σσ = + θ，极坐标中应力 协调方程为 2 ( )0 ∇ += σ σ r θ 。 ¾ Airy 应力函数 由应力张量在坐标变换下的规则，极坐标下应力张量为 cos sin cos sin sin cos sin cos r r x xy r xy y θ θ θ σ τ θ θ θθ σ τ τ σ θ θ θθ τ σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ (8.13)