=0,2=(←sin0,cos0)=8 or a0 由极坐标的坐标单位向量的表达式可知： a0=0, 08=←cos0,-sin8)=-6 a0 >几何方程 弹性力学的几何方程为 1 T=。(u7+7u) (8.1) 极坐标中位移可表示为u=,6+ug8，Hamilton算子为 V=60+80 (8.2) 位移的左、右梯度为 + 了u=(or Xu5+u8)-055+58+-A ra0 ror r (8.3) g+4)8,8 +( roe r v-%55+0a6+0-风+%+4)8,8 (8.4) ror r r∂0r 由几何方程(8.1)得到 器急当 8,= r 8e r (8.5) 2 or ro0 r 几何意义：6，，方向长度的相对伸长，。8方向长度的相对伸长，68方向夹角改变 的一半。 >平衡方程 在极坐标中应力张量可表示为T=0,+088+t,e8+t8。 VT=6亦+8Q 0o,65+o88+rw8+rn) (8.6) 空+6+5，+8路%+2 =ro arroer 极坐标中平衡方程为： 0o+0re+g-0+f=0 or roe r (8.7 2xe+。=0 >本构关系 对于各向同性材料极坐标中本构关系和直角坐标中本构关系形式相同， 22 由极坐标的坐标单位向量的表达式可知： 0 0 0 0 0 0 0, ( sin ,cos ) 0, ( cos , sin ) r r θ θ θ θ θ θ ∂ ∂ = =− = ∂ ∂ ∂ ∂ = = − − =− ∂ ∂ r r r θ θ θ 。 ¾ 几何方程 弹性力学的几何方程为 1 ( ) 2 Γ = ∇+∇ u u (8.1) 极坐标中位移可表示为 r 0 0 u u u = + θ r θ ，Hamilton 算子为 0 0 r r θ ∂ ∂ ∇= + ∂ ∂ r θ (8.2) 位移的左、右梯度为 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 ( )( ) ( ) ( ) r r r r u u u u u u r r r r rr r u u r r θ θ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇= + + = + + − ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ u r r rr r r θ θ θθ θ θ (8.3) 00 00 0 0 0 0 ( )( ) rr r uu u u uu r r rr r r r θ θθ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇= + + − + + ∂∂ ∂ ∂ u rr r r θ θ θθ (8.4) 由几何方程(8.1)得到 1 1 , , ( ) 2 rr r r r uu u u uu r r r rr r θ θ θ θ θ εε ε θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + = +− ∂ ∂ ∂∂ (8.5) 几何意义： r ε ， 0r 方向长度的相对伸长， θ ε θ 0 方向长度的相对伸长， 0 0 r θ 方向夹角改变 的一半。 ¾ 平衡方程 在极坐标中应力张量可表示为T = σ r rr 00 0 0 0 0 00 + ++ σττ θ θθ rr r r θ θ θθ 。 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 )( ) 2 ( )( ) r rr r rr r r r r rr r rr r θ θθ θ θ θθθ σσ τ τ θ σ τ σσ τ σ τ θ θ ∂ ∂ ∇ + + ++ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂∂ = ++ + ++ ∂∂ ∂∂ i i T=(r rr r r r θ θθ θ θ θ (8.6) 极坐标中平衡方程为： 0 2 0 r r r r r r f rr r f rr r θ θ θθθ θ σ τ σσ θ τ στ θ ⎧∂ ∂ − + + += ⎪⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂ ⎪ + + += ⎪⎩ ∂ ∂ (8.7) ¾ 本构关系 对于各向同性材料极坐标中本构关系和直角坐标中本构关系形式相同