第六章曲线和曲面 3、参照 Hermite三次曲线的几何形式,试用B[PoP1P"PPP],推导相应五次曲线的 调和函数和系数矩阵M 解:设 Hermite五次曲线的几何形式为: 按题巨豬曲线病端殷垫襟+a其中t∈ 曲线两端点的一阶导数值P。P 曲线两端点的二阶导数值PP 则求出系数as,a,a,a2,a,ao 则P(t)就可确定; 由于 (b+5+4动,Pt 其中t∈[0,1 P"(t)=20ast+12a4t2+6a3t+2a2 P0=P(0)=a P1=P(1)=a5+a4+a3+a2+a1+ao P0′=P’(0)=a1 PI′=P’(1)=5a5+4a4+3a3+2a2+a1 P0"=P"(0)=2a2 P=P"(1)=20as+12a4+6a3+2a2 所以a0=P(0) al=P’(0) a2=P"(0)/2 a3=10P(1)-10P(0)-4P(1)-6P(0)+P"(1)/2-3P"(0)/2 a4=-15P(1)+15P(0)+7P(1)+8P′(0)-P"(1)-3P"(0)/2 a5=6P(1)-6P(0)-3P’(1)-3P′(0)-P〃(0)/2+P"(1)/2 P(t)=[-6P(0)+6P(1)-3P′(0)-3P(1)-P"(0)/2+P"(1)/2]t +[+15P(0)-15P(1)+8P(0)+TP(1)+3P"(0)/2 +[-10P(0)+10P(1)-6P(0)-4P(1)-3P"(0)/2+P"(1)/2]t [P"(0)/2] [P’(0)] +P(0) 整理得: P(t)=(-6t5+15t4-10t3+1)P(0)+(6t°-15t+10t)P(1) +(-3t°+8t-6t+t)P(0)+(-3t5+7t-4t°)P(1) +(-t5/2+3t/2-3t/2+t2/2)P"(0)+(t/2-t+t3/2)P"(1) 故调和函数为: F(0)=-6t°+15t-10t+1 F(1)=6t5-15t+10t3 6t+ t F(3)=-3t°+7t-4t F(4)=-t/2+3t/2-3t/2+t2第六章 曲线和曲面 3、参照 Hermite 三次曲线的几何形式，试用 B[P0 P1 P0 u P1 u P0 uu P1 uu] T , 推导相应五次曲线的 调和函数和系数矩阵 M。 解：设 Hermite 五次曲线的几何形式为： P(t)=a5t 5 + a4t 4 + a3t 3 + a2t 2 + a1t + a0 其中 t∈[0,1] 按题意，已知曲线两端点的坐标值 P0 P1 曲线两端点的一阶导数值 P0 u P1 u 曲线两端点的二阶导数值 P0 uu P1 uu 则求出系数 a5,a4,a3,a2,a1,a0 则 P(t)就可确定； 由于 P(t)= a5t 5 + a4t 4 + a3t 3 + a2t 2 + a1t + a0 其中 t∈[0,1] P’(t)=5a5t 4 + 4a4t 3 + 3a3t 2 + 2a2t + a1 P”(t)=20a5t 3 +12a4t 2 +6a3t+2a2 P0=P(0)=a0 P1=P(1)=a5+a4+a3+a2+a1+a0 P0’=P’(0)=a1 P1’=P’(1)=5a5+4a4+3a3+2a2+a1 P0”=P”(0)=2a2 P1”=P”(1)=20a5+12a4+6a3+2a2 所以 a0 = P(0) a1 =P’(0) a2 =P”(0)/2 a3 = 10P(1)- 10P(0) - 4P’(1) - 6P’(0) + P”(1)/2 - 3P”(0)/2 a4 =-15P(1)+ 15P(0) + 7P’(1) + 8P’(0) - P”(1) - 3P”(0)/2 a5 = 6P(1)- 6P(0) - 3P’(1) - 3P’(0) - P”(0)/2 + P”(1)/2 => P(t)=[ -6P(0) + 6P(1) - 3P’(0) - 3P’(1) - P”(0)/2 + P”(1)/2] t5 +[+15P(0) - 15P(1) + 8P’(0) + 7P’(1) + 3P”(0)/2 ] t4 +[-10P(0) + 10P(1) - 6P’(0) - 4P’(1) - 3P”(0)/2 + P”(1)/2] t3 + [ P”(0)/2] t2 + [P’(0)] t +P(0) 整理得： P(t) = (-6t5 + 15t4 - 10t3 + 1) P(0) + (6t5 -15t4 +10t3 ) P(1) + (-3t5 + 8t4 -6t3 + t) P’(0) + (-3t5 +7t4 -4t3 ) P’(1) + (-t 5 /2+ 3t4 /2-3t3 /2+t2 /2) P”(0) + (t5 /2-t 4 +t3 /2) P”(1) 故调和函数为： F(0)= -6t5 + 15t4 - 10t3 + 1 F(1)= 6t5 - 15t4 + 10t3 F(2)= -3t5 + 8t4 - 6t3 + t F(3)= -3t5 + 7t4 - 4t3 F(4)= -t 5 /2 + 3t4 /2 -3t3 /2 + t2 /2