第六章曲线和曲面 3、参照 Hermite三次曲线的几何形式,试用B[PoP1P"PPP],推导相应五次曲线的 调和函数和系数矩阵M 解:设 Hermite五次曲线的几何形式为: 按题巨豬曲线病端殷垫襟+a其中t∈ 曲线两端点的一阶导数值P。P 曲线两端点的二阶导数值PP 则求出系数as,a,a,a2,a,ao 则P(t)就可确定; 由于 (b+5+4动,Pt 其中t∈[0,1 P"(t)=20ast+12a4t2+6a3t+2a2 P0=P(0)=a P1=P(1)=a5+a4+a3+a2+a1+ao P0′=P’(0)=a1 PI′=P’(1)=5a5+4a4+3a3+2a2+a1 P0"=P"(0)=2a2 P=P"(1)=20as+12a4+6a3+2a2 所以a0=P(0) al=P’(0) a2=P"(0)/2 a3=10P(1)-10P(0)-4P(1)-6P(0)+P"(1)/2-3P"(0)/2 a4=-15P(1)+15P(0)+7P(1)+8P′(0)-P"(1)-3P"(0)/2 a5=6P(1)-6P(0)-3P’(1)-3P′(0)-P〃(0)/2+P"(1)/2 P(t)=[-6P(0)+6P(1)-3P′(0)-3P(1)-P"(0)/2+P"(1)/2]t +[+15P(0)-15P(1)+8P(0)+TP(1)+3P"(0)/2 +[-10P(0)+10P(1)-6P(0)-4P(1)-3P"(0)/2+P"(1)/2]t [P"(0)/2] [P’(0)] +P(0) 整理得: P(t)=(-6t5+15t4-10t3+1)P(0)+(6t°-15t+10t)P(1) +(-3t°+8t-6t+t)P(0)+(-3t5+7t-4t°)P(1) +(-t5/2+3t/2-3t/2+t2/2)P"(0)+(t/2-t+t3/2)P"(1) 故调和函数为: F(0)=-6t°+15t-10t+1 F(1)=6t5-15t+10t3 6t+ t F(3)=-3t°+7t-4t F(4)=-t/2+3t/2-3t/2+t2
第六章 曲线和曲面 3、参照 Hermite 三次曲线的几何形式，试用 B[P0 P1 P0 u P1 u P0 uu P1 uu] T , 推导相应五次曲线的 调和函数和系数矩阵 M。 解：设 Hermite 五次曲线的几何形式为： P(t)=a5t 5 + a4t 4 + a3t 3 + a2t 2 + a1t + a0 其中 t∈[0,1] 按题意，已知曲线两端点的坐标值 P0 P1 曲线两端点的一阶导数值 P0 u P1 u 曲线两端点的二阶导数值 P0 uu P1 uu 则求出系数 a5,a4,a3,a2,a1,a0 则 P(t)就可确定； 由于 P(t)= a5t 5 + a4t 4 + a3t 3 + a2t 2 + a1t + a0 其中 t∈[0,1] P’(t)=5a5t 4 + 4a4t 3 + 3a3t 2 + 2a2t + a1 P”(t)=20a5t 3 +12a4t 2 +6a3t+2a2 P0=P(0)=a0 P1=P(1)=a5+a4+a3+a2+a1+a0 P0’=P’(0)=a1 P1’=P’(1)=5a5+4a4+3a3+2a2+a1 P0”=P”(0)=2a2 P1”=P”(1)=20a5+12a4+6a3+2a2 所以 a0 = P(0) a1 =P’(0) a2 =P”(0)/2 a3 = 10P(1)- 10P(0) - 4P’(1) - 6P’(0) + P”(1)/2 - 3P”(0)/2 a4 =-15P(1)+ 15P(0) + 7P’(1) + 8P’(0) - P”(1) - 3P”(0)/2 a5 = 6P(1)- 6P(0) - 3P’(1) - 3P’(0) - P”(0)/2 + P”(1)/2 => P(t)=[ -6P(0) + 6P(1) - 3P’(0) - 3P’(1) - P”(0)/2 + P”(1)/2] t5 +[+15P(0) - 15P(1) + 8P’(0) + 7P’(1) + 3P”(0)/2 ] t4 +[-10P(0) + 10P(1) - 6P’(0) - 4P’(1) - 3P”(0)/2 + P”(1)/2] t3 + [ P”(0)/2] t2 + [P’(0)] t +P(0) 整理得： P(t) = (-6t5 + 15t4 - 10t3 + 1) P(0) + (6t5 -15t4 +10t3 ) P(1) + (-3t5 + 8t4 -6t3 + t) P’(0) + (-3t5 +7t4 -4t3 ) P’(1) + (-t 5 /2+ 3t4 /2-3t3 /2+t2 /2) P”(0) + (t5 /2-t 4 +t3 /2) P”(1) 故调和函数为： F(0)= -6t5 + 15t4 - 10t3 + 1 F(1)= 6t5 - 15t4 + 10t3 F(2)= -3t5 + 8t4 - 6t3 + t F(3)= -3t5 + 7t4 - 4t3 F(4)= -t 5 /2 + 3t4 /2 -3t3 /2 + t2 /2
F(5)=t5/2-t+t2/2 系数矩阵为: /21/2 -3/21/2 0000 000 9.试求两段三次 Hermite曲线达C和G连续的条件 解:两段三次 Hermite曲线分别为 Q(t1)=a3t23+a2t12+at1+at1∈[01 Q2(t2)=b3t2+b2t2+b1t2+bt2∈[01] (1)依据G连续充要条件为: Q1(1)和Q2(0)在P点处重合, 且其在P点处的切矢量方向相同,大小不等 即Q1(1)=Q2(0),Q’(1)≠Q2’(0),Q”(1)=Q2”(0) 而Q1(1)=a3+a2+a1+ao Q2(0)=bo Q(t)=3a3t12+2a2t1+a1 Q2(t2)=3b3t2+2bt2+b Q1(1)=3a3+2a2+a1 Q2(0)=b1 Q(t1)=6a3t1+2a2 Q2(t2)=6bat2+2b2 Q(1)=6a3+2a2 Q2(0)=2b =>两段三次 Hermite曲线: Q(t1)=a3t13+a2t2+a1t1+aot1∈[01] Q2(t2)=b3t23+b2t2+b1t2+bot2∈[01] 要达到G连续,其系数必须满足下列关系式: a3 a2+ al+ ao= bo 3a3+2a2+an≠bn 6a3+2a2=2b2 2)依据C连续充要条件为: Q1(1)和Q2(0)在P点处重合, 且其在P点处的切矢量方向相同,大小相等 即Q(1)=Q2(0),Q1’(1)=Q2’(0),Q”(1)=Q2”( 而Q1(1)=a3+a2+a1+a Q2(0)=bo Q1(t1)=3a3t2+2a2t1+a1
F(5)= t5 /2 - t 4 + t3 /2 系数矩阵为： - 6 6 -3 -3 -1/2 1/2 15 -15 8 7 3/2 -1 -10 10 -6 -4 -3/2 1/2 0 0 0 0 1/2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 9．试求两段三次 Hermite 曲线达 C 1和 G 1连续的条件 解：两段三次 Hermite 曲线分别为： Q1(t1)=a3 t1 3 + a2 t1 2 + a1 t1+ a0 t1∈[0 1] Q2(t2)=b3 t2 3 + b2 t2 2 + b1 t2+ b0 t2∈[0 1] (1)依据 G 1连续充要条件为： Q1(1)和 Q2(0)在 P 点处重合， 且其在 P 点处的切矢量方向相同，大小不等 即 Q1(1)= Q2(0)， Q1’(1)≠ Q2’(0) ,Q1”(1)= Q2”(0) 而 Q1(1)= a3 + a2 + a1 + a0 Q2(0)= b0 Q1 ’ (t1)=3a3 t1 2 + 2a2 t1+ a1 Q2 ’ (t2)=3b3 t2 2 + 2b2 t2+ b1 Q1 ’ (1)=3a3 + 2a2+ a1 Q2 ’ (0)= b1 Q1 ” (t1)=6a3 t1 + 2a2 Q2 ” (t2)=6b3 t2 + 2b2 Q1 ” (1)=6a3 + 2a2 Q2 ” (0)= 2b2 => 两段三次 Hermite 曲线： Q1(t1)=a3 t1 3 + a2 t1 2 + a1 t1+ a0 t1∈[0 1] Q2(t2)=b3 t2 3 + b2 t2 2 + b1 t2+ b0 t2∈[0 1] 要达到 G 1连续，其系数必须满足下列关系式： a3 + a2 + a1 + a0 = b0 3a3 + 2a2 + a1 ≠ b1 6a3 + 2a2 =2 b2 (2)依据 C 1连续充要条件为： Q1(1)和 Q2(0)在 P 点处重合， 且其在 P 点处的切矢量方向相同，大小相等 即 Q1(1)= Q2(0)， Q1’(1)= Q2’(0) ,Q1”(1)= Q2”(0) 而 Q1(1)= a3 + a2 + a1 + a0 Q2(0)= b0 Q1 ’ (t1)=3a3 t1 2 + 2a2 t1+ a1
Q2(t2)=3b3t2+2b2t2+b1 Q1(1)=3a3+2a+a1 Q2(0)=b1 Q1(t1)=6ast+2a2 Q2(t2)=6b3t2+2b2 Q1(1)=6a3+2a2 =>两段三次 Hermite曲线: Q1(t1)=a3t13+a2t12+a1t1+aot1∈[01] Q2(t2)=b3 t2+ b2 t2+ bi t2+ bo t2E[O 1 要达到C连续,其系数必须满足下列关系式: 3a3+2a2+an 10给定四点P1(0,00),P2(1,1,1)P3(2,-1,-D),P(3,0,0用其作为特征多边形来构造一条三次 Bezier曲线, 并计算参数为0,13,2/3,1的值。 解:三次 Bezier曲线的一般式为: P(t)=(1-t)P1+3(1+)P2+3t2(14)P+tP4t∈[01 其矩阵表达式为 PI P(t=It'tt1I 3-630 000 ttl3-630 3300 123 066 = P(t=ttt 然后分别令t=0,1/3,2乃3,1计算上述式子即可 当t=0时 P+0001|066 000 当t=1/3时
Q2 ’ (t2)=3b3 t2 2 + 2b2 t2+ b1 Q1 ’ (1)=3a3 + 2a2+ a1 Q2 ’ (0)= b1 Q1 ” (t1)=6a3 t1 + 2a2 Q2 ” (t2)=6b3 t2 + 2b2 Q1 ” (1)=6a3 + 2a2 Q2 ” (0)= 2b2 => 两段三次 Hermite 曲线： Q1(t1)=a3 t1 3 + a2 t1 2 + a1 t1+ a0 t1∈[0 1] Q2(t2)=b3 t2 3 + b2 t2 2 + b1 t2+ b0 t2∈[0 1] 要达到 C 1连续，其系数必须满足下列关系式： a3 + a2 + a1 + a0 = b0 3a3 + 2a2 + a1 = b1 6a3 + 2a2 =2 b2 10.给定四点 P1（0,0,0）,P2(1,1,1),P3(2,-1,-1),P4(3,0,0),用其作为特征多边形来构造一条三次 Bezier 曲线， 并计算参数为 0，1/3，2/3，1 的值。 解：三次 Bezier 曲线的一般式为： P(t)=(1-t)3P1 +3t(1-t)2P2+ 3t2 (1-t)P3+t3P4t∈[0 1] 其矩阵表达式为 -1 3 -3 1 P1 P(t)=[t3 t 2 t 1] 3-6 3 0 P2 -3 3 0 0 P3 1 0 0 0 P4 -1 3 -3 1 0 0 0 = [t3 t 2 t 1] 3 -6 3 0 1 1 1 -3 3 0 0 2 -1 -1 1 0 0 0 3 0 0 0 6 6 => P(t)=[t3 t 2 t 1] 0 -9 -9 3 3 3 0 0 0 然后分别令 t=0, 1/3, 2/3, 1 计算上述式子即可 当 t＝0 时 P(0)= 0 0 0 1 0 6 6 0 -9 -9 3 3 3 0 0 0 = 0 0 0 当 t＝1/3 时
P(3=1/31321/3 066 12/9 当t=2/3时 P(23)=(2/3)3(2/3)22/31 066 030 33 00 2-2/9 当t=1时 P(0)=1111 066 0-9 11.已知由P1(0,0,0),P2(2,2,-2),P3(2,-1,-1),P4(3,0,0),Q(4,0, 0),Q2(6,2,1),Q3(8,-3,2),Q4(10,0,1)确定的两段三次 Bezier曲线,试求其在 P4(Q1)处达到C连续的条件 解:设两段连续的三次 Bezier曲线分别为: P(t),Q(t)t∈p01] 则P(t1)=(1-t1)3P1+3t(1-t1)2P2+3t12(1-t1)P3+t3P4 tl∈[01 Q(t2=(1-t2)Q1+3t2(1-t2)2Q2+3t2(1-t2)Q3+t23Q4 t2∈[0] 将P1、P2、P3、P4的分量分别代入P(得到相应的分量 Px(t)=(1+}3*0+3(1-12*2+3t2(1-)*2+t3*4 Py(t)=(1-1)3*0+3(1-)2*2+3t2(1-)+(-1)+p3*0 =9t3-15t2+6t Pz(t=(1-*0+3t(1-+2*(-2)+3t(1-)+(-1)+t3*0 -3t+9t2-6t 即三次 Bezier曲线的矩阵式为 P(t=[tt2t1 66-6 000 将Q1、Q2、Q3、Q4的分量分别代入Q)得到相应的分量
P(1/3)= 1/33 1/32 1/3 1 0 6 6 0 -9 -9 3 3 3 0 0 0 = 1 2/9 2/9 当 t＝2/3 时 P(2/3)= (2/3)3 (2/3)2 2/3 1 0 6 6 0 -9 -9 3 3 3 0 0 0 = 2 -2/9 2/9 当 t＝1 时 P(0)= 1 1 1 1 0 6 6 0 -9 -9 3 3 3 0 0 0 = 3 0 0 11．已知由 P1（0，0，0）,P2（2，2，-2）,P3（2，-1，-1）,P4（3，0，0）,Q1（4，0， 0）,Q2（6，-2，1）,Q3（8，-3，2）,Q4（10，0，1）确定的两段三次 Bezier 曲线，试求其在 P4(Q1)处达到 C1连续的条件 解：设两段连续的三次 Bezier 曲线分别为： P(t), Q(t) t∈[0 1] 则 P(t1)=(1-t1) 3P1+3t1(1-t1) 2P2+3t1 2 (1-t1)P3+t1 3P4 t1∈[0 1] Q(t2)=(1-t2) 3Q1+3t2(1-t2) 2Q2+3t2 2 (1-t2)Q3+t2 3Q4 t2∈[0 1] 将 P1、P2、P3、P4 的分量分别代入 P(t)得到相应的分量 Px(t)= (1-t)3*0 + 3t(1-t)2*2 + 3t2 (1-t)*2 + t3*4 = 4t3 – 6t2 + 6t Py(t)= (1-t)3*0 + 3t(1-t)2*2 + 3t2 (1-t)*(-1) + t3*0 = 9t3 – 15t2 + 6t Pz(t)= (1-t)3*0 + 3t(1-t)2*(-2) + 3t2 (1-t)*(-1) + t3*0 = -3t3 + 9t2 - 6t 即三次 Bezier 曲线的矩阵式为： P(t)= [t3 t 2 t 1] 4 9 -3 0 -6 -15 9 0 6 6 -6 0 0 0 0 0 将 Q1、Q2、Q3、Q4的分量分别代入 Q(t)得到相应的分量
Qx(=(1-)3*4+3(1-)2*6+32(1-)*8+t3*10 6t+4 Qy(t=(1-t)3=0+3t(1-2*(-2)+3t2(1-t)*(-3)+t3*0 =3t3+3t2-6t Qz(t)=(1-t)3*0+3(1-1)2*1+3t2(1-t)*2+t3*1 即三次 Bezier曲线的矩阵式为: Q(t}=[t2tl03-2 0300 6-63b 400 P(1)和Q(t)在P4(Q1)处达到C连续的条件是: P(1)和QO)在P4(Q1)处重合,且其在在P4Q1)处的切矢量方向相同,大小相等 P(t=1)=Q(t=0 12、把上题定义的二段三次 Bezier曲线经过一次分割后,试求它们相应特征多边形的顶点坐标序列 解:顶点坐标序列如图 P1 P3 P4 PPPQQQ P12 P2P13 O Q2-Q 其中P:(t)=(1-t)P;l(t)+tP+l(t)r=1,2,3,=1,2,3 17、已知Po=10.250,P10=10.750P0n=10.7509P1=10.2508四点,试用它们构造一张双线性曲面,并用程 序输出该双线性曲面。 解:一次双线性曲面参数方程为: Q(u, v)=[I-u,uI P 0.25.01[0.75,0.91 =[1u,u[0.700.25,0.81| Q(u, v=(1-u)(I-v)Poo+u(1-v)P10+(1-u)vPol+uv Pul =(1-u)(1-v)[0.250+u(1-v)[0.750+(1-u)v075,0.9+uv0.25,0.8] 即: X(uv)=0.25(1-u)(1-v)+0.75u(1-v)+0.75(1-u)v+0.25uv
Qx(t)= (1-t)3*4 + 3t(1-t)2*6 + 3t2 (1-t)*8 + t3*10 = 6t + 4 Qy(t)= (1-t)3*0 + 3t(1-t)2*(-2) + 3t2 (1-t)*(-3) + t3*0 = 3t3 + 3t2 - 6t Qz(t)= (1-t)3*0 + 3t(1-t)2*1 + 3t2 (1-t)*2 + t3*1 = -2t3 + 3t 即三次 Bezier 曲线的矩阵式为： Q(t)= [t3 t 2 t 1] 0 3 -2 0 0 3 0 0 6 -6 3 0 4 0 0 4 P(t)和 Q(t)在 P4(Q1)处达到 C 1 连续的条件是： P(1)和 Q(0) 在 P4(Q1)处重合，且其在在 P4(Q1)处的切矢量方向相同，大小相等 即： P（t=1）= Q（t=0） P’（t=1） = Q’（t=0） 12、把上题定义的二段三次 Bezier 曲线经过一次分割后，试求它们相应特征多边形的顶点坐标序列。 解：顶点坐标序列如图： P1 P2 P1 1 P3 P2 1 P1 2 P4 P3 1 P2 2 P1 3 Q2 Q1 1 Q3 Q2 1 Q1 2 Q4 Q3 1 Q2 2 Q1 3 其中 Pi r (t1)=（1-t）Pi r-1 (t1)+ t Pi+1 r-1 (t1) r=1,2,3; i=1,2,3 17、已知 P00=[0.25,0], P10=[0.75,0],P01=[0.75,0.9],P11=[0.25,0.8]四点，试用它们构造一张双线性曲面，并用程 序输出该双线性曲面。 解：一次双线性曲面参数方程为： P00 P01 1-v Q(u, v)=[1-u, u] P10 P11 v [0.25,0] [0.75,0.9] 1-v =[1-u, u] [0.75,0] [0.25,0.8] v 即： Q(u, v)=（1-u）(1-v) P00+u (1-v) P10+（1-u）v P01+uv P11 =（1-u）(1-v) [0.25,0]+u (1-v) [0.75,0]+（1-u）v [0.75,0.9]+u v[0.25,0.8] 即： X(u, v)= 0.25 (1-u）(1-v) +0.75u (1-v) +0.75（1-u）v+0.25u v
Y(uv=0(1-u)(1-v)+0u(1-v)+09(1-u)w+08uv 0≤u≤1;0≤v 它其实是一个马鞍面(双曲抛物面)上的一块曲面片 P PI
Y(u, v)= 0 (1-u）(1-v) + 0 u (1-v) + 0.9（1-u）v+ 0.8u v 0≤u≤1; 0≤v ≤1 它其实是一个马鞍面（双曲抛物面）上的一块曲面片。 P01 P11 P00 P10
