7.6习题 2.试证明下述几何变换的矩阵运算具有互换性: 1)两个连续的旋转变换;(2)两个连续的平移变换 (3)两个连续的变比例变换;(4)当比例系数相等时的旋转和比例变换; (1)证明:设第一次的旋转变换为 in e 1 TI= n 01 cos 0 0 第二次的旋转变换为 Cos 02 sin 0 2 0 T2= sin e2 cos e 2 则因为 T1*T2= sine l cos 02 sin 2 sinel cos e 1 sine2 cos 0 2 0 0 001 cos 01 cos 0 2+sinel sin 02 cos 01 sin 2+ sin 01 cos 0 2 sinel cos e 2-cos 0 1 sin e 2 sinel sin e 1+ cos e 1 cos 0 2 Cos(01+02) sin(01+02) sin(1+02) cos(01+02) cos 02 sine2 0 1 sin 0 1 2*T1 sine2 cos 0 2 0 sinel cos e 1 0 cosθlcos2+sin01sin2 cosθlsinθ2+sinθ1cos02 0 sin e 2cos 0 1- -sin el sin e l+ cos e1 cos 0 2
7.6 习题 2．试证明下述几何变换的矩阵运算具有互换性： （1）两个连续的旋转变换；（2）两个连续的平移变换； （3）两个连续的变比例变换；（4）当比例系数相等时的旋转和比例变换； （1）证明：设第一次的旋转变换为： cosθ1 sinθ1 0 T1= - sinθ1 cosθ1 0 0 0 1 第二次的旋转变换为： Cosθ2 sinθ2 0 T2= - sinθ2 cosθ2 0 0 0 1 则因为 T1*T2 = cosθ1 sinθ1 0 cosθ2 sinθ2 0 - sinθ1 cosθ1 0 - sinθ2 cosθ2 0 0 0 1 0 0 1 = cosθ1 cosθ2+sinθ1 sinθ2 cosθ1 sinθ2+ sinθ1 cosθ2 0 - sinθ1 cosθ2- cosθ1 sinθ2 -sinθ1 sinθ1+ cosθ1 cosθ2 0 0 0 1 Cos（θ1+θ2） sin（θ1+θ2） 0 = - sin（θ1+θ2） cos（θ1+θ2） 0 0 0 1 cosθ2 sinθ2 0 cosθ1 sinθ1 0 T2*T1 = - sinθ2 cosθ2 0 - sinθ1 cosθ1 0 0 0 1 0 0 1 cosθ1 cosθ2+ sinθ1 sinθ2 cosθ1 sinθ2+ sinθ1 cosθ2 0 = - sinθ2cosθ1- cosθ2 sinθ1 -sinθ1 sinθ1+ cosθ1 cosθ2 0 0 0 1
Cos(01+62) sin(01+02) sin(01+02) cos(01+02) 0 0 即T*2=T2*1,两个连续的旋转变换具有互换性 (2)证明:设第一次的平移变换为: Txl Tyl 001 第二次的平移变换为 Tx2 Ty2 则因为 T1*T2 00 0 0 Txl Tyl Tx2 Ty2 0 Tx1+Tx2 Tyl+Ty2 1 而 T2*T1 T Ty2 1 0 0 TXI+Tx2 Tyl+Ty2 1 即T1*T2=T2*T1,两个连续的平移变换具有互换性 (3)证明:设第一次的变比例变换为 SxI
Cos（θ1+θ2） sin（θ1+θ2） 0 = - sin（θ1+θ2） cos（θ1+θ2） 0 0 0 1 即 T1*T2= T2*T1, 两个连续的旋转变换具有互换性 （2）证明：设第一次的平移变换为： 1 0 0 T1= 0 1 0 Tx1 Ty1 1 第二次的平移变换为： 1 0 0 T2= 0 1 0 Tx2 Ty2 1 则因为 T1*T2 = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 Tx1 Ty1 1 Tx2 Ty2 1 1 0 0 = 0 1 0 Tx1+Tx2 Ty1+Ty2 1 而 T2*T1 = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 Tx2 Ty2 1 Tx1 Ty1 1 1 0 0 = 0 1 0 Tx1+Tx2 Ty1+Ty2 1 即 T1*T2= T2*T1, 两个连续的平移变换具有互换性 （3）证明：设第一次的变比例变换为： Sx1 0 0
Syl 0 0 01 第二次的变比例变换为: 0 Sy2 0 则因为 T1*T2= SXI Sx2 0 0 0 0 Sy2 0 SxI*Sx2 0 T2*T1= x20 0 y2 0 Syl SxI*Sx2 0 Syl=sy2 0 0 0 即T1*2=2*T1,两个连续的变比例变换具有互换性 (4)证明:设第一次为比例系数相等时的比例变换: Tl= 0 第二次的为旋转变换 cos 0 sine 0 sin e cos 则因为
T1= 0 Sy1 0 0 0 1 第二次的变比例变换为： Sx2 0 0 T2 = 0 Sy2 0 0 0 1 则因为 T1*T2 = Sx1 0 0 Sx2 0 0 0 Sy1 0 0 Sy2 0 0 0 1 0 0 1 Sx1*Sx2 0 0 = 0 Sy1*Sy2 0 0 0 1 而 T2*T1 = Sx2 0 0 Sx1 0 0 0 Sy2 0 0 Sy1 0 0 0 1 0 0 1 Sx1*Sx2 0 0 = 0 Sy1*Sy2 0 0 0 1 即 T1*T2= T2*T1, 两个连续的变比例变换具有互换性 （4）证明：设第一次为比例系数相等时的比例变换： S 0 0 T1= 0 S 0 0 0 1 第二次的为旋转变换： cosθ sinθ 0 T2= - sinθ cosθ 0 0 0 1 则因为
T1*T2= S00 0 cos 0 sine o S 0 sin e os 00 0 s cos e s sin e Scosθ2 而 T2*T1 cos e sin e 0 sin e S00 0 s sin e 即T1*T2=T2*T1,“当比例系数相等时的旋转和比例“变换具有互换性 3、证明二维点相对x轴作对称,紧跟着相对y=x直线作对称变换完全等价于该点相对坐标 原点作旋转变换 证明 (1)点相对x轴作对称的变换矩阵 100 T1+0-10 001 (2)相对于y=-x直线作对称变换矩阵 0-10 100 0 因为们*T2=0-10*-100=100 00 cos(-90° sin(-90°) 0 =sin(-90°)cos(-90°) 即该点相对坐标原点作顺时针方向转90°的旋转变换
T1*T2 = S 0 0 cosθ sinθ 0 0 S 0 - sinθ cosθ 0 0 0 1 0 0 1 S cosθ S sinθ 0 = - S sinθ S cosθ2 0 0 0 1 而 T2*T1 = cosθ sinθ 0 S 0 0 - sinθ cosθ 0 0 S 0 0 0 1 0 0 1 S cosθ S sinθ 0 = -S sinθ S cosθ 0 0 0 1 即 T1*T2= T2*T1, “当比例系数相等时的旋转和比例“变换具有互换性 3、证明二维点相对 x 轴作对称，紧跟着相对 y=-x 直线作对称变换完全等价于该点相对坐标 原点作旋转变换。 证明： (1) 点相对 x 轴作对称的变换矩阵 1 0 0 T1= 0 -1 0 0 0 1 (2) 相对于 y=-x 直线作对称变换矩阵 0 -1 0 T2= -1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 -1 0 因为 T1*T2= 0 -1 0 * -1 0 0 = 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 cos(-90º) sin(-90 º) 0 = - sin(-90 º) cos(-90º) 0 0 0 1 即该点相对坐标原点作顺时针方向转 90 º 的旋转变换
4、证明 1-t2 21 完全表示一个旋转变换。 1t2 1+t2 证明:令t=tg(/2) 则:(1-t2)/(1+t2)=cos (2t)/(1+t2)=sine 将T扩充为一个三行齐次坐标的变换矩阵为 该矩阵表示为一个旋转变换 5、例:三角形ABC各顶点坐标为A(3,0)B(4,2)C(6,0),其绕原点逆时 针旋转90°,再向X方向平移2,Y方向平移1。 解:因为:0=90 变换矩阵为 CoS90°SIN90°0 TR=+SIN90°c0s90°0 0
4、 证明 1-t 2 2t 1+ t 2 1+t2 T= 完全表示一个旋转变换。 -2t 1-t 2 1+t2 1+t2 证明：令 t=tg(θ/2) 则：（1-t 2）/(1+ t 2 )= cosθ （2t）/(1+ t 2 )= sinθ 即 cosθ sinθ T= - sinθ cosθ 将 T 扩充为一个三行齐次坐标的变换矩阵为： cosθ sinθ 0 T= - sinθ cosθ 0 0 0 1 该矩阵表示为一个旋转变换 5、例：三角形 ABC 各顶点坐标为 A（3，0）B（4，2）C（6，0），其绕原点逆时 针旋转 90°，再向 X 方向平移 2，Y 方向平移-1。 解：因为：θ=90° 变换矩阵为 COS90° SIN90° 0 0 1 0 TR= - SIN90° COS90° 0 = -1 0 0 2 -1 1 2 -1 -1
则 A1301 010 2|21 B421 100 031 B C601 251 如果先进行平移变换,再进行旋转变换, c0s90°SIN90°0010 0 SIN90°c0S90°0=-100 2-11 则 A1301 010 151 B421 100 -161 C 01 121 C 结论:变换顺序不同,结果也不同
则 A 3 0 1 0 1 0 2 2 1 A‘ B 4 2 1 -1 0 0 = 0 3 1 B‘ C 6 0 1 2 -1 1 2 5 1 C‘ 如果先进行平移变换，再进行旋转变换， 1 0 0 COS90° SIN90° 0 0 1 0 Tr= 0 1 0 - SIN90° COS90° 0 = -1 0 0 2 -1 1 0 0 1 1 2 1 则 A 3 0 1 0 1 0 1 5 1 A‘ B 4 2 1 -1 0 0 = -1 6 1 B‘ C 6 0 1 1 2 1 1 8 1 C‘ 结论：变换顺序不同，结果也不同
