同理可证由等式 =厂M0M 所确定的函数y=v(x,C)都是方程(21.1)的解,其中C是任意常数 因此,在实际求解中除了求出使g(y)=0的y值以外,只要用g(y)除方程(211)的两边,然后 求不定积分 I h(a)dr, 2.试用分离变量法求下列一阶微分方程的解 (1)出=-5 (3)出=2xy (4)xy(1+x2)dy=(1+y2)dr (9)出 (12)出 (1)分离变量后得ydy=-dx,两边积分,得 因而原方程的通解为 x2+y2=C, 其中C=2C1为任意非负常数 (3)当y≠0时,分离变量后得 dr 两端积分得 In lyl 此外显然y=0也是方程的解.从而方程的通解为 其中C为任意常数 (4)分离变量后得 i 4g2=ri4 两端积分得 1ln(1+x2)=lml-11(1+x2)+C ln(1+x21+y2)=lnx2+2C1 从而方程的通解为 (1+x2)1+y2)=Cx2, 其中C=e201为任意正常数2 同理可证由等式 Z y y0 dτ g(τ ) = Z x x0 h(t)dt + C, 所确定的函数 y = ψ(x, C) 都是方程 (2.1.1) 的解, 其中 C 是任意常数. 因此, 在实际求解中除了求出使 g(y) = 0 的 y 值以外, 只要用 g(y) 除方程 (2.1.1) 的两边，然后 求不定积分 Z dy g(y) = Z h(x)dx, 即可. 2. 试用分离变量法求下列一阶微分方程的解. (1) dy dx = − x y . (3) dy dx = 2xy. (4) xy(1 + x 2 )dy = (1 + y 2 )dx. (9) dy dx = √ 1−y2 √ 1−x2 . (12) dy dx = cos x 3y2+ey . 解: (1) 分离变量后得 ydy = −xdx, 两边积分, 得 y 2 2 = − x 2 2 + C1, 因而原方程的通解为 x 2 + y 2 = C, 其中 C = 2C1 为任意非负常数. (3) 当 y 6= 0 时, 分离变量后得 1 y dy = 2xdx, 两端积分得 ln |y| = x 2 + C1, 此外显然 y = 0 也是方程的解. 从而方程的通解为 y = Cex 2 , 其中 C 为任意常数. (4) 分离变量后得 ydy 1 + y 2 = dx x(1 + x2) , 两端积分得 1 2 ln(1 + y 2 ) = ln |x| − 1 2 ln(1 + x 2 ) + C1, 即 ln(1 + x 2 )(1 + y 2 ) = ln x 2 + 2C1, 从而方程的通解为 (1 + x 2 )(1 + y 2 ) = Cx2 , 其中 C = e 2C1 为任意正常数