(x1计x2=x0(x-x"),(x1x2)=-1h(x-x),(x10)=v6(x") mo dx v0(x)=0, 阶常微分方程的解为v6(x) 考虑到归一化条件, Vo(x) 激发态 n(x)=(xn)==(x1n-) ((a)n-2) Vn(n-1) a(m)(-m间 m(m(mD((xm列)(xm/p 代入(x1(x2)=x6(x-x2),(x1px2)=-i6(x-xd,有 mo y, (r)= m0b%() 至此,一维谐振子问题全部解决。 2.7)a+a的物理意义 谐振子的能量:E,=n+|an=012,3…; 零点能: E。=-ho), 表明:存在一种量子,能量为E=h,当谐振子处于第n个激发态上,意味着有n个量子 被激发了。 n:量子数,粒子数 ata:粒子数算符; 和N的共同表象:粒子数表象。ˆ ( ), ˆ ( ) d x x x x x x x p x i x x dx ′ ′′ = − ′δ δ ′′ ′ ′′ = − − ′′ ′ ∵ = ， x′′ 0 , =ψ 0 ( ) x′′ 0 ( ) 0 d x x m dx ψ ω ⎛ ⎞ ∴ + ⎜ ′ ′ ⎟ = ⎝ ⎠′ = ， 一阶常微分方程的解为 ( ) 2 2 0 m x x Ce ω ψ − = = ， 考虑到归一化条件， ( ) 2 1 4 2 0 m m x x e ω ω ψ π − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = 。 激发态 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 n x x n x a n x a n n n n ψ + + = = − = − − ( ) 1 1 2 0 0 ˆ ˆ ! ! n n n m i x a x x p n n m ω π ω + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠ 2 1 1 1 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ! n n n m i i i dx dx x x p x x x p x x x p x x n m m m ω π ω ω ω − ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ∫ " " = n n 代入 ˆ ( ), ˆ ( ) d x x x x x x x p x i x x dx ′ ′′ = − ′δ δ ′′ ′ ′′ = − − ′′ ′ = ，有 ( ) 2 0 1 ( ) ! n n n m d x x x n m dx ω ψ ψ π ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = 至此，一维谐振子问题全部解决。 2．7） aˆ + aˆ 的物理意义 谐振子的能量： 1 , 0,1, 2,3 2 E n n ω n ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ = "； 零点能： 0 1 2 E = =ω ， 表明：存在一种量子，能量为 ，当谐振子处于第 个激发态上，意味着有 个量子 被激发了。 ε = =ω n n n : 量子数，粒子数； † ˆ N a = ˆ aˆ ：粒子数算符； Hˆ 和 Nˆ 的共同表象：粒子数表象。 4