为了寻求函数的 Taylor级数收敛于它本身的条件,回忆在§53 中所得到的 Taylor公式:设f(x)在O(x0,p)有n+1阶导数,则 f(x)=∑ (x-x0)+rn(x), k 其中,(x)是n阶 Taylor公式的余项现在假定讨论的函数f(x)在O(x0, r)上任意阶可导,也就是说,上面的 Taylor公式对一切正整数n成立, 于是我们可以断言 (x-x0)” 在O(x0,p)(0<p≤)成立的充分必要条件是: lim r (x)=0 对一切x∈Oxn,p)成立为了寻求函数的 Taylor 级数收敛于它本身的条件，回忆在§5.3 中所得到的 Taylor 公式：设 f (x)在 O( 0 x , r)有 n + 1 阶导数，则 f (x) = = − n k k k x x k f x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) +r (x) n ， 其中r (x) n 是 n 阶 Taylor 公式的余项。现在假定讨论的函数 f (x) 在 O( 0 x , r)上任意阶可导，也就是说，上面的 Taylor 公式对一切正整数 n 成立， 于是我们可以断言： f (x) =   = − 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) n n n x x n f x 在 0 O x( , )  （0    r ）成立的充分必要条件是： n→ lim r (x) n = 0 对一切 0 x O x  ( , )  成立