(1)若(10)有k个不同的实根,则(9)有通解: xn=CM +C2 (2)若(10)有m重根λ,则通解中有构成项: (c1+c2n+…+cnm) (3)若(10)有一对单复根=a±iB,令:A=p= p=a2+B2,o=arcn,则(9)的通解中有构成项: (4)若有m重复根:=a±iB,A=P,则(9)的通项中有构成 项 (C,+C2n+.+cm n")p"cos n+(cm+l +Cm2 n+.+C2m n" P"sin n 综上所述,由于方程(10)恰有k个根,从而构成方程 (9)的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为:xn 如果能得到方程(8)的一个特解:x,则(8)必有通解: x=x +x 8)的特解可通过待定系数法来确定 例如:如果b(n)=b"pn(m),pn(n)为n的多项式,则当b不是特征根 时,可设成形如b"qn(n)形式的特解,其中qn(n)为m次多项式;如果b 是r重根时,可设特解:b"nqn(m),将其代入(8)中确定出系数即 可 2、差分方程的z变换解法 对差分方程两边关于x取Z变换,利用xn的Z变换F(z)来 表示出x的Z变换,然后通过解代数方程求出F(z),并把F(z) 在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数,其系数就是所要求的xn 例1设差分方程xn2+3x+2xn=0,x=0,x1=1,求xn 解:解法1:特征方程为2+3+2=0,有根:1=-12 故:xn=c(-1)+c2(-2)为方程的解。 由条件x0=0.x=1得:xn=(-1)”-(-2) 解法2:设F(z)=Z(xn)方程两边取变换可得6 （1） 若（10）有 k 个不同的实根，则（9）有通解： n k k n n n x = c11 + c22 +...+ c  ， （2） 若（10）有 m 重根  ，则通解中有构成项： m n (c c n ... cm n ) 1 1 2 − − − − + + + （3）若（10）有一对单复根  =   i ，令：    i e  = ，      , arctan 2 2 = + = ，则（9）的通解中有构成项： c n c n n n 1  cos 2  sin  − − + （4）若有 m 重复根：  =   i ，    i e  = ，则（9）的通项中有构成 项： c c n c n n c c n c n n m n m m m m n ( ... m ) cos ( ... ) sin  1 1 2 2 1 1 2 − − − + + − − − + + + + + + + 综上所述，由于方程（10）恰有 k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有 k 个独立的任意常数。通解可记为： − n x 如果能得到方程（8）的一个特解： * n x ，则（8）必有通解： xn = − n x + * n x （11） （8） 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果 b(n) b p (n), p (n) m m n = 为 n 的多项式，则当 b 不是特征根 时，可设成形如 b q (n) m n 形式的特解，其中 q (n) m 为 m 次多项式；如果 b 是 r 重根时，可设特解： n r b n q (n) m ，将其代入（8）中确定出系数即 可。 2、差分方程的 z 变换解法 对差分方程两边关于 n x 取 Z 变换，利用 n x 的 Z 变换 F（z）来 表示出 n k x + 的 Z 变换，然后通过解代数方程求出 F（z），并把 F(z) 在 z=0 的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的 n x 例1 设差分方程 xn+2 + 3xn+1 + 2xn = 0, x0 = 0, x1 =1 ，求 n x 解：解法 1：特征方程为 3 2 0 2  +  + = ，有根： 1 = −1,2 = −2 故： n n n x c ( 1) c ( 2) = 1 − + 2 − 为方程的解。 由条件 x0 = 0, x1 = 1 得： n n n x = (−1) − (−2) 解法 2：设 F（z）=Z( n x ),方程两边取变换可得：