Tmn -ub(o) >1-Φ(x)=Φ(x) a√b(1) 其中Φ(x)是N(0,1)的分布函数.这里用了tn服从中心极限定理以及由b(1)的定义所引出的近似关系 b(t)≈-x b() N.-λ·t 注在强度为A的指数流的情形,此定理即是中心极限定理 N(O,1),(t→>∞),因为 此时有=一,σ 2.3 Blackwell定理与主更新定理 在本段中,我们不再假定更新间隔T有密度函数,它可以是离散的随机变量 定义4.15(格点分布)设随机变量ξ只取某个正数(更常见的是正整数)d的整数倍 而且这个d是满足此性质的最大者(d称为周期)则称此随机变量具有d-格点分布 我们不加证明地介绍两个在更新理论中最重要的定理, Blackwell定理及作为其延伸的主 更新定理( key renewal theorem) 定理4.16(B| ackwe II定理)设更新间隔T的数学期望ET= (1)若更新间隔T不是格点分布,则 im,→[m(t+s)-m() (2)若更新间隔T1是d-格点分布,则 lim m(nd) 注(1)的形式可由定理4.13猜得,其严格证明的主要点在于极限的存在性,一旦证明 存在性,那么此极限作为s的函数易见是可加的,等式就自然成立.本定理的证明可参见文 献[H]) 定理4.17(主更新定理)若更新间隔T不是格点分布,ET=μ,则对可积函数g有 limiNg(t-s)dm(s)=[g( (4.20) 注1在指数流时(4.20)是显然的. 注2 Blackwell定理中的(1),相当于在主更新定理中取g(1)=1+·事实上,由85 ) ( ) ( ) ( ( ) x b t b t P b t ³ - - » s t m 1 ( x) (x) t ¾ ¾® - F - = F ®¥ , 其中F(x) 是 N(0,1) 的分布函数. 这里用了 n t 服从中心极限定理以及由 b(t) 的定义所引出的近似关系 x b t t b t » - - ( ) ( ) s m . 注 在强度为 l 的指数流的情形, 此定理即是中心极限定理 » (0,1),( ® ¥) × - × N t t N t t l l , 因为 此时有 2 2 1 , 1 l s l m = = . 2. 3 Blackwell 定理与主更新定理 在本段中, 我们不再假定更新间隔T1有密度函数, 它可以是离散的随机变量. 定义 4. １5 (格点分布) 设随机变量x 只取某个正数 (更常见的是正整数) d 的整数倍, 而且这个 d 是满足此性质的最大者( d 称为周期), 则称此随机变量具有d - 格点分布. 我们不加证明地介绍两个在更新理论中最重要的定理, Blackwell 定理及作为其延伸的主 更新定理 (key renewal theorem) 定理 4. １6 (Blackwell 定理) 设更新间隔T1的数学期望 ET1 = m . (1) 若更新间隔T1不是格点分布, 则 m s m t s m t lim t®¥ [ ( + ) - ( )] = ; (4. 18) (2) 若更新间隔T1是d - 格点分布, 则 m d lim n®¥ m(nd) = . (4. 19) (注 (1)的形式可由定理 4.13 猜得，其严格证明的主要点在于极限的存在性, 一旦证明 存在性, 那么此极限作为 s 的函数易见是可加的, 等式就自然成立．本定理的证明可参见文 献［H］). 定理 4. 17 (主更新定理) 若更新间隔T1不是格点分布, ET1 = m , 则对可积函数 g 有 ò ò ¥ ®¥ - = t t dt g t g t s dm s 0 0 ( ) lim ( ) ( ) m . (4. 20) 注 1 在指数流时(4. 20)是显然的. 注 2 Blackwell 定理中的(1), 相当于在主更新定理中取 ( , ] ( ) t t s g t I = + . 事实上，由