(2)基本更新定理 →一,(t∞)(这里ET可以取+∞) (注当ar(T1)<∞时,还有 Var(N Var(T) (ET1)3 证明(1)利用r≤1<τ,在t→∞时,应用强大数定律便得→ET1,(2)在 直观上看就是对于(1)取数学期望,然而其严格证明较为复杂,本书略去 注在强度为λ的指数流情形,极限关系就简化为恒等关系,即对于任意t均有 m(o 1 Var(N,) Var(T) (E7),这是因为 ET,= par(7)=n2, ar(N,)=m(1)=·t 2.2更新过程的正态近似 对于更新过N,而言,事件{N≥n}即{n≤l},而后者作为独立同分布的随机变量的和的分 布近似正态,所以 ,更新过程在时间发展充分长后,其分布就近似正态。设 ET1=,Wam(7)=02<∞,则定理413说明当t→>时有EM、t,War(N)x 于是我们有 定理4.14(正态近似定理)若Var(T)=a2<∞,ET1=μ,则 ≈NO),(t→∞) (4 N 证明P( ≤x)=P(N,≤xo 令b(1)是大于XG +一的最 小整数,那么等式的右边等于 P(N,≤b()=P(020)=P20=b)2t-b a√b() √b()84 (2) 基本更新定理 ,( ) ( ) 1 1 ® t ® ¥ t ET m t (这里 ET1可以取 + ¥ ). (4. 15) (注 当 Var(T1 ) < ¥ 时, 还有 ,( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 ® t ® ¥ ET Var T t Var Nt . (4. 16) ) 证明 (1)利用 Nt £ < Nt +1 r t t , 在t ® ¥ 时, 应用强大数定律便得 1 . . ET N a e t Nt ® t . (2)在 直观上看就是对于(1)取数学期望，然而其严格证明较为复杂, 本书略去. 注 在强度为 l 的指数流情形, 极限关系就简化为恒等关系, 即对于任意 t 均有 1 ( ) 1 t ET m t = , 3 1 1 ( ) ( ) ( ) ET Var T t Var Nt = , 这是因为 l 1 ET1 = , 1 2 1 ( ) l Var T = , Var N m t t t ( ) = ( ) = l × . * 2. 2 更新过程的正态近似 对于更新过 Nt 而言，事件{N n} t ³ 即{ t} t n £ ，而 后者作为独立同分布的随机变量的和的分 布近似正态，所以 ，更新过程在时间发展充分长后，其分布就近似正态。设 ET1 = m ， = < ¥ 2 1 Var(T ) s , 则定理 4.13 说明当t ® ¥ 时有 m t ENt » ， 3 2 ( ) m ts Var Nt » ， 于是我们有 定理 4. １4 (正态近似定理) 若 = < ¥ 2 1 Var(T ) s , ET1 = m , 则 (0,1),( ) 3 » ® ¥ - N t t t Nt m s m . (4. 17) 证明 ( ) ( ) 3 3 m m s m s m t t x P N x t t N P t t £ = £ + - . 令 b(t) 是大于 m m s t t x + 3 的最 小整数, 那么等式的右边等于 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ) ( ) b t t b t b t b t P N b t P t P b t t b t s m s t m t - ³ - £ = ³ =