证明由于n=N1+1满足wad条件,我们仍可用Wald等式(参见(1.26)式及(1.27)式)得 到Ern=EnET,从而有ErN+1=(+m(1)ET 用同样的推理及r(xn)=Emar(7)+mm)ET2,Em2=∑P(n>n,m)可以得 到(我们略去冗长的推演过程) Ey2=(1+m)E72-2(+[m(s)s)ET1+t2 (4.12) 我们还不加证明地指出下面的渐近关系 ET Ey→ 2ET gET 此关系可以为储存设计提供参考 对1前的更新时刻Tx的分布,则有下面的积分表示 定理4.12(用更新间隔的分布函数F)表达t前的更新时刻τx的分布函数) (1-F()+(1-F(-s)dm(s(n≤o 证明利用独立和r的 Markov性质,我们得到 左=∑P(xn≤u,N=m)=∑P(rn≤rn =(1-F1(1)+∑P(rn≤l1nH>1) =(-F(0)+,Prn>|r,=s( F()+∑(-F 2更新定理与更新次数的正态近似 在应用中,主要是要知道更新过程(更新次数)的渐近概率规律,以作为设计的参考 2.1更新定理 定理4.13(更新定理)对于更新过程有 N (这里ET1可以取+∞)83 证明 由于 = + 1 D h Nt 满足 Wald 条件, 我们仍可用 Wald 等式 (参见(1. 26)式及(1. 27) 式)得 到 E EhET1 th = ，从而有 1 E N 1 (1 m(t))ET t t + = + 。 用同样的推理及 2 1 1 Var(th ) = EhVar(T ) +Var(h)ET ， å ¥ = = > , 1 2 ( , ) n m Eh P h n m 可以得 到 (我们略去冗长的推演过程) ò = + - + + t t E m t ET t m s ds ET t 0 2 1 2 1 2 g (1 ( )) 2( ( ) ) . (4. 12) 我们还不加证明地指出下面的渐近关系 1 2 1 2ET ET E t t ®¥ g ® , 1 3 2 1 3ET ET E t t ®¥ g ® , (4.13) 此关系可以为储存设计提供参考. 对t 前的更新时刻 Nt t 的分布，则有下面的积分表示 定理 4. 12 （用更新间隔的分布函数 F (t) 1 表达t 前的更新时刻 Nt t 的分布函数） ò £ = - + - - £ u N 1 1 P u F t F t s dm s u t t 0 (t ) (1 ( )) (1 ( )) ( ),( ). (4. 14) 证明 利用独立和 n t 的 Markov 性质, 我们得到 左 ( , ) 0 P n u Nt n n = å £ = ¥ = t ( , ) 1 0 P u t n n n = £ + > ¥ = å t t = (1- F1 (t)) + ( , ) 1 1 P u t n n n £ + > ¥ = å t t = (1- F1 (t)) + ( | ) ( ) 1 1 0 P n t n s dFn s n u + > = ¥ = åò t t = (1- F1 (t)) + (1 ( )) ( ) 1 0 F1 t s dFn s n u å - - ò ¥ = =右. 2 更新定理与更新次数的正态近似 在应用中，主要是要知道更新过程(更新次数)的渐近概率规律, 以作为设计的参考. 2. 1 更新定理 定理 4. １3 (更新定理) 对于更新过程有 (1) ) 1 1 (lim 1 ®¥ = = t ET N P t t (这里 ET1可以取 + ¥ )