即a;与τ∧t同分布,其中τAt=min(r,D),r~eNpx 证明(1)随机变量y1=TN+1-1分布函数为 P(,≤s)=P(r =P(rxst+s)=∑P(N=n)P(xn≤+|N,=n) P(N1=n)P(N,≥1)=P(N,≥1)=1 (2)按定义当s≥t时P(a1>s)=P(t-τx>s)=0.而当s<t时有 P(a,>s)=P(t-,>)=∑P(N,=n,n<t-s) P(N N-N=0)=∑P(N=:=n)P(N=0) 推论4.10指数流的平均更新年龄为 4.1 从而重新得到第3章2.3段中的结论:t前最近更新时刻的数学期望为 1+A E 证明由命题4.9(2)可知,a,的分布函数在点有一个跃度为e的跳跃,而在[01) 上有连续导数λ·e,所以a,的分布函数可以看成为如下的混合型分布 P(a,≤s)=(1-e)F1(s)+eF2(s) 其中F(s)具有概率密度f1(s)=;x1o(s),而F2(s)=l1x(s).由于这两个分布的 数学期望分别为1-2,1e-与1,因此Eas1-eb 元·(1-e-) 命题4.11(一般更新流的平均剩余寿命)对于一般更新过程的剩余寿命y,有 EY:=(1+m(D)E1-t (4.lI82 即 at 与t Ùt 同分布, 其中 t Ùt min( t ,t) D = , l t ~ exp . 证明 （１）随机变量 t Nt g t = t +1 - 分布函数为 ( ) ( ) 1 P s P t s Nt g t £ = t + - £ ( ) ( ) ( | ) 1 0 P 1 t s P Nt n P n t s Nt n n Nt = £ + = = + £ + = ¥ = t + å t s s n P Nt n P Ns P N e -l ¥ = = å ( = ) ( ³ 1) = ( ³ 1) = 1- 0 . （２） 按定义当s ³ t 时 P(at > s) = P(t - > s) = 0 Nt t . 而当s < t 时有 P(at > s) = å ¥ = - > = = < - 0 ( ) ( , ) n P t N s P Nt n n t s t t t å ¥ = = - = - = 0 ( , 0) n P Nt s n Nt Ns å ¥ = - = - = = = 0 ( ) ( 0) n s P Nt s n P Ns e l . 推论４．１０ 指数流的平均更新年龄为: l a lt t e E - - = 1 . (4. 10) 从而重新得到第 3 章 2. 3 段中的结论：t 前最近更新时刻的数学期望为 l l t a l e t E E t t N t t - + = - = - 1 ( ) ． 证明 由命题４.９(2)可知, at 的分布函数在 t 点有一个跃度为 t e -l 的跳跃, 而在[0,t) 上有连续导数 s e l l - × , 所以at 的分布函数可以看成为如下的混合型分布 ( ) (1 ) ( ) ( ) 1 2 P s e F s e F s t t t l l a - - £ = - + , 其中 ( ) 1 F s 具有概率密度 ( ) 1 ( ) 1 [0, ) I s e e f s t t s l l l - - - × = , 而 ( ) ( ) 2 [ , ) F s I s = t ¥ . 由于这两个分布的 数学期望分别为 (1 ) 1 t t t - e - te - e l l l l l - - - × × 与t , 因此 l a lt t e E - - = 1 . 命题４.１１ （一般更新流的平均剩余寿命 ）对于一般更新过程的剩余寿命 t g 有 E m t ET t g t = (1+ ( )) 1 - . (4. 11)