证明假设/不是Q上的既约多项式则由上引理 可知,f=gh,其中g,h都是次数比degf小的整系 数多项式.设 g(x)=bx+…+bx+b f(x)=c"+.+Cx+c 则有k,m<n,+m=n,且an=bCn,an=b由pan 可得p|b或pce再由p2a可得p不能同时整除b和co 故不妨设Pb,pc另一方面因an,所以b设 b,b…,b中第一个不能被p整除的是b注意到,S≤k<n 因此,an=bc+bc1+…+bc中除bc。-项全能被p整除, 从而必有pbc于是p|b或p|co,它们均和假设矛盾.故 f必为本原多项式 上页下 圆回1 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 , , , , deg ( ) , ( ) , , , , | | | | , , , k k m m n k m n n f f gh g h f g x b x b x b f x c x c x c k m n k m n a b c a b c p a p b p c p a p b c p b p c p a p b b b b = = + + + = + + + < + = = = " " … 证明 假设 不是 上的既约多项式 则由上引理 可知 其中 都是次数比 小的整系 数多项式.设 则有 ,且 .由 可得 或 .再由 可得 不能同时整除 和 故不妨设 .另一方面因 ,所以 .设 Q ? ? ? ? 0 1 1 0 0 0 0 , . | , | | k s s s s s s s p b s k n a b c b c b c b c p p b c p b p c f − ≤ < = + +"+ 中第一个不能被 整除的是 注意到, 因此, 中除 一项全能被 整除, 从而必有 于是 或 ,它们均和假设矛盾.故 必为本原多项式