364 MATLAB5手册 China-pub.com 下载 Ax=b 将向量a,a,,a看作A的列，该方程组可被写成如下的半压缩形式。 x1a1+x2a2+…+xnan=b 当且仅当det(A)≠O时方程组有唯一解。 mXn阶矩阵A的值域R(A)是A的列a,a,,a的所有线性的组合。这是一个线性空间， 并且R(A)的维数等于rank(A)。 矩阵A的零空间N(A)是所有使得Ax=0的向量集合，即齐次方程组的解。这也是一个线性 空间，并且维数等于m一rank(A)。 A的值域和零空间的定义同上。 方程系AX-I是一个矩阵方程，其中A是一个nXn矩阵，而I为n阶单位阵。使用符号x,x, …,，x和e=(1,0,…,0)',e=(0,1,…,0),…,e=(0,0,…,1)作为X和I的列，根据： X=(x1 x2 ..Xn)I=(el e2 ..en) 可以将矩阵方程写成线性方程组的集合： Axk=ek k=1,2,....n 当且仅当det(A)≠0时方程组有唯一的解。AX=I的解X被称为A的逆，记为A-, 有AA1=I和A1A=I。 逆的计算通常也使用高斯消元法。存在逆的矩阵称为非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵。 方阵的特征值和特征向量可用如下的方程定义： Ax=Ix 这等价于齐次方程组： (A-1ID)x=0 对于每个矩阵A和入，向量x=0都是一个解。但是，如果dt(A一2I)≠0，则方程组还有非 零解。这些×≠0的解称为A的特征向量，相应的入，称为特征值或特征根。在复平面上A总有 个特征值入，入，，入。特征值和它相应的特征向量称为特征对。 函数p(仉)=det(A-入I)是入的n次多项式，也称为A的特征多项式。特征方程为p(久)=0。 总有这样的结论：矩阵多项式p(A)=O,这就是Cayley-Hamilton定理。 如果C为非奇异矩阵，A和B定义成B=C-AC,则称A和B为相似矩阵，A和B之间的变换 称为相似变换。相似变换不改变矩阵的特征值。 矩阵A的谱半径p(A)定义为max。 如果矩阵A、B的逆存在，则对逆、转置和共轭转置如下的式子成立： (AB)-I=B-1A-1如果所有的逆都存在 (AB)T =BTAT (AB)H BHAH 下面的等价链包含了上述的大部分定义。A为n阶方阵。 线性方程Ax=b有唯一的解 台 det(A≠0 台A x = b 将向量a1 , a2 ,…，an看作A的列，该方程组可被写成如下的半压缩形式。 当且仅当d e t (A)≠0时方程组有唯一解。 m×n阶矩阵A的值域 (A)是A的列a1 , a2 ,…，an的所有线性的组合。这是一个线性空间， 并且 (A)的维数等于r a n k(A)。 矩阵A的零空间 (A)是所有使得A x = 0的向量集合，即齐次方程组的解。这也是一个线性 空间，并且维数等于m—r a n k(A)。 AT的值域和零空间的定义同上。 方程系A X = I是一个矩阵方程，其中 A是一个n×n矩阵，而I为n阶单位阵。使用符号 x1 , x2 , …，xn和e1 =(1, 0, …，0 ) T , e2 =(0, 1, …，0) T , …，en =(0, 0, …，1) T作为X和I的列，根据： 可以将矩阵方程写成线性方程组的集合： 当且仅当d e t (A) ¹ 0时方程组有唯一的解。A X = I的解X被称为A的逆，记为A－1 , 有A A－1=I和A－1A = I。 逆的计算通常也使用高斯消元法。存在逆的矩阵称为非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵。 方阵的特征值和特征向量可用如下的方程定义： A x = l x 这等价于齐次方程组： (A－lI)x= 0 对于每个矩阵A和l，向量x = 0都是一个解。但是，如果 d e t (A－lI)≠0，则方程组还有非 零解。这些xk≠0的解称为A的特征向量，相应的 lk称为特征值或特征根。在复平面上 A总有n 个特征值l1 , l2 ,…，ln。特征值和它相应的特征向量称为特征对。 函数j(l) = d e t (A-lI )是l的n次多项式，也称为A的特征多项式。特征方程为 j(l) = 0。 总有这样的结论：矩阵多项式 (A) = 0，这就是C a y l e y - H a m i l t o n定理。 如果C为非奇异矩阵，A和B定义成B= C－1A C，则称A和B为相似矩阵，A和B之间的变换 称为相似变换。相似变换不改变矩阵的特征值。 矩阵A的谱半径r(A)定义为m a xi |li |。 如果矩阵A、B的逆存在，则对逆、转置和共轭转置如下的式子成立： 下面的等价链包含了上述的大部分定义。 A为n阶方阵。 3 6 4 M ATLAB 5 手册 下载 如果所有的逆都存在 线性方程A x=b有唯一的解 Û d e t ( A ¹ 0 Û