China-pub.com 附录B线性代数中的定义和基本概念 363 下载 列向量可看成是n×1矩阵，而行向量可看成是1×n矩阵。有时将一个标量看成1×1矩阵 也是十分有用的。 如果x是一个有n个分量的列向量，而A是一个n×n阶矩阵，那么Ax也是有n个分量的列向 量。这称为矩阵一向量乘法。 转置是将矩阵的行和列交换位置，转置运算符记做T。如果A是一个元素为a的m×n矩阵， 那么转置矩阵A是一个元素为a的n×m矩阵。转置也可以看成是这样：A的第1列作为转置矩 阵中的第1行，A的第2列作为转置矩阵中的第2行，依次类推。 矩阵的共轭是一个矩阵，其中的元素是原矩阵中复数元素的共轭。结果记做A。一个常 用的操作符是共轭转置，这将形成矩阵AT或等价的AT。该矩阵通常记做A“,A*,在 MATLAB中记做A'。 两个列向量x和y的内积常写成： (x,y)= i=l 欧氏范数可写成风，=西。注意：xy是一个标量，因为它是1×n阶矩阵和n1阶矩阵的 内积。相反，xy是一个n×n阶矩阵。 B.3矩阵概念 矩阵不只是一个数字的集合。一些重要而有用的数学概念都与矩阵有关。 矩阵A的秩，rank(A)是矩阵A中线性无关列的列数，并且总是等于矩阵A中线性无关行的 行数。如果A为m×n矩阵，则秩小于或等于min(m,n)。 方阵A的行列式，dt(A),是一个可以用不同方式定义和计算的标量。有下列结论： 1)det(A)=det(AT). 2)det(A)=det(A). 3)如果A中有两行相等，或某一行可由其他行线性表示，则dt(A)=0。对于A的列也有同 样的结论。 4)某行减去另一行与一个标量的乘积，行列式不变。对于列也有同样的结论。 5)交换任意两行，行列式变号。对于列也有同样的结论。 6)主对角线下方所有元素均为零的矩阵称为上三角矩阵，其行列式为主对角元素的乘积。 对于下三角矩阵也有同样的结论。 7)矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积。这是一个重要的乘法定理： det(AB)= det(A)det(B). 8)矩阵行列式的计算可用高斯消元法来很好地求得。 阶线性方程组可以记成如下明确的形式： a11x1+a12x2+...+aInxn=b1 a21x1+a22x2+··+a2nxn=b2 anlx1 a2nx2+...+annxn =bn 或用A=(a,,x=(,,…,x)和b=(b,bn…,b)来表示：列向量可看成是 n×1矩阵，而行向量可看成是 1×n矩阵。有时将一个标量看成 1×1矩阵 也是十分有用的。 如果x是一个有n个分量的列向量，而 A是一个n×n阶矩阵，那么A x也是有n个分量的列向 量。这称为矩阵—向量乘法。 转置是将矩阵的行和列交换位置，转置运算符记做 T。如果A是一个元素为ai j的m×n矩阵， 那么转置矩阵AT是一个元素为aj i的n×m矩阵。转置也可以看成是这样： A的第1列作为转置矩 阵中的第1行，A的第2列作为转置矩阵中的第2行，依次类推。 矩阵的共轭是一个矩阵，其中的元素是原矩阵中复数元素的共轭。结果记做 。一个常 用的操作符是共轭转置，这将形成矩阵 或等价的 。该矩阵通常记做 AH，A*，在 M AT L A B中记做A¢。 两个列向量x和y的内积常写成： 欧氏范数可写成 。注意：x Hy是一个标量，因为它是 1×n阶矩阵和n×1阶矩阵的 内积。相反，x yH是一个n×n阶矩阵。 B.3 矩阵概念 矩阵不只是一个数字的集合。一些重要而有用的数学概念都与矩阵有关。 矩阵A的秩，r a n k(A)是矩阵A中线性无关列的列数，并且总是等于矩阵 A中线性无关行的 行数。如果A为m×n矩阵，则秩小于或等于m i n (m, n)。 方阵A的行列式，d e t ( A )，是一个可以用不同方式定义和计算的标量。有下列结论： 3) 如果A中有两行相等，或某一行可由其他行线性表示，则 d e t (A) = 0。对于A的列也有同 样的结论。 4) 某行减去另一行与一个标量的乘积，行列式不变。对于列也有同样的结论。 5) 交换任意两行，行列式变号。对于列也有同样的结论。 6) 主对角线下方所有元素均为零的矩阵称为上三角矩阵，其行列式为主对角元素的乘积。 对于下三角矩阵也有同样的结论。 7) 矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积。这是一个重要的乘法定理： d e t (A B) = d e t (A) d e t (B)。 8) 矩阵行列式的计算可用高斯消元法来很好地求得。 n阶线性方程组可以记成如下明确的形式： 或用A= (ai j )，x= (x1 , x2 , …，xn ) T和b= (b1 , b2 ,…，bn ) T来表示： x 2 = x H x 附录B 线性代数中的定义和基本概念 3 6 3 下载