连续型随机变量占的分布密度为p(x),分布函数为F(x)=[p()t,数值函数g(5) 的期望为 8()=g(x)p( 如果ξ只取非负值,则有另一个计算公式 E5= 设5是以a(0<a<1的概率取一个分布函数为F(x)=∑p的一个离散随机变量,而 以1-a的概率取另一个分布函数为F(x)=[,p()的一个连续型随机变量,那么的 分布函数就应该为F(x)=aF4(x)+(1-a)F(x),而其数值函数g(5)的数学期望为 ()=a28(x),+(I-a)8(x)p(x)dx 对一般情形的随机变量5,设其分布函数为F(x),则与的函数g()的数学期望可粗略地定义为 Stilt jes积分 Eg(s)=lim ∑g(1")F(n)-(F(")j 此极限记为「g(x)dF(x),这里{t1"}是n的一个划分.这种积分的运算规律及近似计算与普 通积分类似 如果∑5k<∞5k20),则有E∑5)=∑E 这个等式说明了求无穷和与取期望可以交换次序的条件.鉴于此公式很直观,且很有用,所以我们引述于 此.而它的证明需要用到测度论的知识,故而从略 2.方差与矩母函数 定义1.4随机变量ξ的方差定义为 ar2=E(5-E2)2=E22-(E5) 矩母函数为 M()=Ee 如果它有限,它不仅包含了一切阶矩:{E(k阶矩)}的信息,而且此时的分布也可 由矩母函数唯一地确定(如果矩母函数不是有限,则人们用“纯虚的矩母函数”,即特征 函数 p(t=ee 22 连续型随机变量x 的分布密度为 p( x) ，分布函数为 ò-¥ = x F(x) p(t)dt ，数值函数 g (x ) 的期望为 ò +¥ -¥ Eg(x ) = g(x)p(x)dx . 如果x 只取非负值, 则有另一个计算公式 ò ¥ = > 0 Ex P(x x)dx . 设x 是以a(0 < a < 1) 的概率取一个分布函数为 å£ = x x d i i F (x) p 的一个离散随机变量，而 以1-a 的概率取另一个分布函数为 ò-¥ = x Fc (x) p(t)dt 的一个连续型随机变量， 那么x 的 分布函数就应该为 F(x) F (x) (1 )F (x) =a d + -a c ， 而其数值函数g (x ) 的数学期望为 å ò +¥ -¥ Eg = g x p + - g x p x dx i i ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) , x a a ． 对一般情形的随机变量x ，设其分布函数为 F( x) ，则x 的函数 g (x ) 的数学期望可粗略地定义为 Stieltjes 积分 ( ) lim ( )[ ( ) ( ( )], ( ) ( ) 1 ( ) max ( ) 0 ( ) ( ) 1 n i i n i n i t t n Eg g t F t F t n i n i i = å + - - ® ®¥ + x 此极限记为 ò +¥ -¥ g(x)dF(x) ， 这里{ } (n) i t 是[-n, n]的一个划分．这种积分的运算规律及近似计算与普 通积分类似． 我们有 如果å < ¥,( ³ 0) k k k x x , 则有 å = å k k E k E k ( x ) x ． 这个等式说明了求无穷和与取期望可以交换次序的条件. 鉴于此公式很直观, 且很有用, 所以我们引述于 此．而它的证明需要用到测度论的知识，故而从略. 2.方差与矩母函数 定义１．４ 随机变量x 的方差定义为 2 2 2 Varx = E(x - Ex ) = Ex - (Ex ) . 矩母函数为 zx M (z) = Ee , 如果它有限， 它不仅包含了一切阶矩: { k Ex （k 阶矩）} 的信息, 而且此时x 的分布也可 由矩母函数唯一地确定. (如果矩母函数不是有限, 则人们用 “纯虚的矩母函数”， 即特征 函数 x j it (t) = Ee