二、判定函数的凸性的充分条件 定理设f(在[a,列上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么 (1若在(a,b)内f(>0则/(在回上是下凸的 (2若在(a,b)内(x)<0,则∫的)在[a上是上凸的 证明只证(1(2的证明类似设x,x,∈[a,b(x<x记 由拉格朗日中值公式,得 f(1)-f(x)=(5)(1-x)=f() 2x<5<x f(x2)-f(x)=f"(2)(x2-x0)=f(2 x2-x1 2,为<52<x2 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 f(x)+f(x2-2f()=[(2)-f()2x=f()(2-5二>0 51<5<52 八()+(2>(2,所以八(小在[上的图形是凹的 拐点:连续曲线y=()上凸与下凸的分界点称为这曲线的拐点 确定曲线y=八)的凹凸区间和拐点的步骤 (1)确定函数y=f对的定义域 (2)求出在二阶导数/() (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点 (4)判断或列表判断,确定出曲线凹凸区间和拐点; 注:根据具体情况(1)、(3)步有时省略. 例3-34判断曲线y=x的凸性 解:因为y=3x2,y"=6x.令y"=0得x=0, 当x<0时y<0,所以曲线在(-∞,0]内为上凸的 当x>0时,y”>0,所以曲线在[0,+∞)内为下凸的 例335求曲线y=3x2-4x2+1的拐点及凸性区间 解:(1)函数y=32-42+1的定义域为(∞,+∞ (2)y=12-12y 36x2-24x=36x(x (3)解方程y"=0,得x=0x2=3 (4)列表判断:二、判定函数的凸性的充分条件 定理 设 在 上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数, 那么 (1)若在 内 , 则 在 上是下凸的; (2)若在 内 , 则 在 上是上凸的. 证明 只证(1)((2)的证明类似). 设 , 记 . 由拉格朗日中值公式, 得 , , 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 , 即 , 所以 在 上的图形是凹的. 拐点: 连续曲线 上凸与下凸的分界点称为这曲线的拐点. 确定曲线 的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数 的定义域; (2)求出在二阶导数 ; (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 注: 根据具体情况（1）、（3）步有时省略. 例3-34 判断曲线 的凸性. 解: 因为 , . 令 得 , 当 时, , 所以曲线在 内为上凸的; 当 时, , 所以曲线在 内为下凸的. 例3-35 求曲线 的拐点及凸性区间. 解: (1)函数 的定义域为 ; (2) , ; (3)解方程 , 得 , ; (4)列表判断: