习作题: 1.计算(4x+5y+) dodd,其中g2由平面x+2y+z=1,x=0,y=0,=0 所围成的空间区域 解:如图 0≤X ≤y 0≤2≤1 所以(4x+y+)dd=4∫d。(4x+5y+k 「。4x+5)+21 ∫d」2(1+3x+3y)2-(4x+5y)y ∫a(+3x+3y)-1(4x+5y)1 与∫如0(5+3x)-0+3x) (5+3x)4-(1+3x) l 3.57708 2.选适当的坐标系计算∫xdod,其中是由柱面x2+y2=1及平面 z=1,x=0,y=0所围成且在第一卦限内的区域 解:如图,选取柱面坐标系计算方便, 0≤≤1, 此时, g:{0≤6≤ 兀 0≤r≤1, 所以xdd=ad∫do」 rose. rsim 6,rr 22 3.利用三重积分计算曲面x2+y2+2=R2与曲面x2+y2+2=4R2所围成的立习作题： 1. 计算  + +  (4x 5y z)dxdydz, 其中  由平面 x + 2y + z = 1 , x = 0, y = 0, z = 0 所围成的空间区域. 解：如图  :        − − −     0 2 1 2 , , 2 1 0 0 1, x y x y x 所以     − − − + + = + +  1 0 0 1 2 0 2 1 (4 5 )d d d d (4 5 )d x x y x y z x y z x dy x y z z z x y x y x y z x 1 2 0 2 0 1 0 ] 2 d d [(4 5 ) 2 1 − − = + +   −   − = 2 + + − + 1 0 2 2 2 1 1 0 d [(1 3 3 ) (4 5 ) ]d x x x y x y y 2 1 0 3 3 1 0 (4 5 ) ] 15 1 (1 3 3 ) 9 1 [ 2 1 d x x x y x y − = + + − +  ( x) ( x) x ]dx 15 64 1 3 9 1 5 3 180 1 [ 1 0 3 3 3 2 1  = + − + − ( ) 1 0 4 4 4 ] 5 16 1 3 36 1 (5 3 ) 720 1 [ 6 1 = + x − + x − x = −3.57708. 2. 选适当的坐标系计算   xydxdydz ，其中  是由柱面 1 2 2 x + y = 及平面 z = 1, x = 0, y = 0 所围成且在第一卦限内的区域. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便, 此时，            0 1, , 2 π 0 0 1, : r z   所以     =    x ydxdydz dz d r cos rsin  rdr 0 1 0 2 π 0 1 =   sin 2 d r dr 2 1 3 0 1 0 2 π   = 8 1 4 ) 4 cos 2 ( 1 0 4 2 π 0 −  =  r . 3. 利用三重积分计算曲面 2 2 2 2 x + y + z = R 与曲面 2 2 2 2 x + y + z = 4R 所围成的立 O x y z 1 1 2 1 O x y z 1 1