体体积 解:取球面坐标系计算方便 R≤p≤2R, 此时两曲面所围区域2:{0≤q≤π, 0<6≤2π 所以体积V=ld= de. dp. p2snqd =2 sin p dpR dp I. (-cos p )o ==丌R 第四节对坐标的曲线积分 思考题: 1.对坐标的曲线积分[,Pdx+Qdy如何化为一元定积分来计算? 答:将曲线L的方程参数化,设为 x=p(), 并确定L的起点和终点对应的参变量t的 y=v(1)2 值,设为a,B,则曲线积分即可化为对参变量t的定积分,即 ∫Pdx+ody=JPo(O)l(+cg(.o)y(o)dr 2为什么对坐标的曲线积分化为定积分计算时,下限对应起点,上限对应终点? 答:因为对坐标的曲线积分的积分域是有向曲线段,化为定积分时,积分变量的变化是 有方向的,即从起点到终点,故下限对应起点,上限对应终点 习作题: 1.计算曲线积分,ydx+xdy,L是曲线x=Rcos,y= rsin e上0由0至 的一段 dx+ xdy O体体积. 解：取球面坐标系计算方便. 此时两曲面所围区域            0 2π , 0 π , 2 , :     R R 所以体积     = = R R V dV d d d 2 2 0 2 0    sin      = 2π sin  d  d 2 2 π 0    R R = R R 2 3 0 3 2π ( cos )     −  = 3 π 3 28 R . 第四节 对坐标的曲线积分 思考题： 1. 对坐标的曲线积分  + L Pdx Qdy 如何化为一元定积分来计算？ 答：将曲线 L 的方程参数化，设为    = = ( ), ( ), y t x t   并确定 L 的起点和终点对应的参变量 t 的 值，设为 ,  ，则曲线积分即可化为对参变量 t 的定积分，即 P x Q y P t t t Q t t t t L d d { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )}d   + =  +    . 2. 为什么对坐标的曲线积分化为定积分计算时，下限对应起点，上限对应终点？ 答：因为对坐标的曲线积分的积分域是有向曲线段，化为定积分时，积分变量的变化是 有方向的，即从起点到终点，故下限对应起点，上限对应终点. 习作题： 1. 计算曲线积分  + L ydx xdy , L 是曲线 x = Rcos , y = rsin  上  由 0 至 4  的一段. 解：  + L ydx xdy O x y 4 π