F(x)=(x,那末∫()=F(b)-F(a) 证明由上面的定理知道,G(x)=丁()h是f(x)的一个原函数,由于同 函数的任意两个原函数只能相差一个常数,所以F(x)=G(x)+C或 F(x)= f(ndt+C 其中C是一个常数由于Ga)=J(=0,从而有∫f(x=G(b)=G(b) G(a)=(F(b)-C)-(F(a)-C)=F(b)-F(a) 常用F(x表示F(b)-F(a),于是定积分的公式可写为f(x=F(x 这个公式也叫牛顿一莱布尼兹( Nowton- Leibniz)公式。 这个公式把积分和微分这两个不同的概念联系起来,从而把求定积分 f(xkx的问题化为求f(x)的原函数的问题 例1求[e2 解因 dx=e2d(2x)=e2+C 故e2有一个原函数e2,于是由积分基本公式 (e-1) 例2求一几女 解因为∫ x d(x)_2rd(1+x2)_1 1+x22J√1+ 有一个原函数为(1+x),所以 x 1√1+x2F x f x '( ) ( ) = ，那末 ( ) b a f x dx  = F b F a ( ) ( ) − 证明 由上面的定理知道， ( ) ( ) x a G x f t dt =  是 f x( ) 的一个原函数，由于同 一函数的任意两个原函数只能相差一个常数，所以 F x( ) = G x( ) + C 或 F x( ) = ( ) x a f t dt  + C 其中 C 是一个常数。由于 G a( ) = ( ) a a f t dt  =0，从而有 ( ) b a f x dx  =G b( ) =G b( ) －G a( ) ＝( ( ) ) ( ( ) ) F b C F a C − − − = F b( )－ F a( ) 常用 ( ) b a F x 表示 F b( )－ F a( ) ，于是定积分的公式可写为 ( ) b a f x dx  ＝ ( ) b a F x 这个公式也叫牛顿－莱布尼兹（Nowton-Leibniz）公式。 这个公式把积分和微分这两个不同的概念联系起来，从而把求定积分 ( ) b a f x dx  的问题化为求 f x( ) 的原函数的问题。 例１ 求 1 2 2 0 x e dx  解 因 2x e dx  ＝ 1 2 (2 ) 2 x e d x  ＝ 1 2 2 x e C+ 故 2 x e 有一个原函数 1 2 2 x e ，于是由积分基本公式 1 2 2 0 x e dx  = 1 2 2 0 1 1 ( 1) 2 2 x e e = − 例 2 求 2 0 2 1 x dx + x  解 因为 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 (1 ) 1 1 1 2 2 xdx d x d x x x x + = = + + +  = 1 1 2 2 2 2 1 2(1 ) (1 ) 2 + + = + + x C x C 即 1 2 2 2 0 (1 ) 5 1 + = − x 2 1 x + x 有一个原函数为 1 2 2 (1 ) + x ，所以 2 0 2 1 x dx + x  = 1 2 2 2 0 (1 ) 5 1 + = − x