x1(F-41x2) dx 的解曲线。用分离变量方法解得 (xe1)(x2e2)=c (20) c是任意常数。因此,方程(17),(18)的轨线是由式(20)定义的曲线族,我们来证 明这些曲线是封闭的。 引理1当x12x2>0时,方程(20)定义了一组封闭曲线 证明我们首先来确定当x1,x2>0时函数 P(x,=x,e 的性状。利用微积分方法可以作出和φ的图形。如下图所示。 若它们的极大值分别记作qn和ψ,则不难确定x、x2满足 r2 12 P(x2)=g 显然,仅当(20)式右端常数c≤φnpn时相轨线才有定义 当c=qnyn时,x1=x,x2=x2,将式(21)和(22)与(19)式比较可知(x1,x2) 正是平衡点P2,所以P是相轨线的退化点 为了考察C<npm时(c>0)轨线的形状,我们只需考虑C=λ中n的情况,其中 <λ<n。首先注意到:方程xe=λ具有一个解x1=x1<x和另一个解 1>x。因出 1或x>x"1时,方程 p(x2)=x2 i,> re 没有解x2。当x1=x'1或x1=x'1时,这个方程具有唯一的解x2=x2,而对于 x'1<x1<x"1,则具有两个解x2(x1)和x"2(x1)。较小的解x2(x1)总是小于x2,较 大的解总是大于x2。当x1趋于x'1或x'1时,x'2(x1)和x'2(x1)都趋向于x2。因此-176- ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 x r x x r x dx dx λ λ − + − = 的解曲线。用分离变量方法解得 x e x e c r x r x = − − ( )( ) 2 2 1 1 1 2 1 2 λ λ (20) c 是任意常数。因此，方程（17），（18）的轨线是由式（20）定义的曲线族，我们来证 明这些曲线是封闭的。 引理 1 当 , 0 x1 x2 > 时，方程（20）定义了一组封闭曲线。 证明 我们首先来确定当 , 0 x1 x2 > 时函数 2 2 1 1 1 ( ) r x x x e λ ϕ − = 和 1 1 2 2 2 ( ) r x x x e λ φ − = 的性状。利用微积分方法可以作出ϕ 和φ 的图形。如下图所示。 若它们的极大值分别记作ϕ m 和φ m ，则不难确定 0 2 0 1 x 、x 满足 m ϕ(x ) = ϕ 0 1 ， 2 0 2 1 λ r x = （21） m φ(x ) = φ 0 2 ， 1 0 1 2 λ r x = （22） 显然，仅当（20）式右端常数 m m c ≤ ϕ φ 时相轨线才有定义。 当 m m c = ϕ φ 时， 0 1 1 x = x ， 0 2 2 x = x ，将式（21）和（22）与（19）式比较可知( , ) 0 2 0 1 x x 正是平衡点 P2 ，所以 P2 是相轨线的退化点。 为了考察 m m c < ϕ φ 时 (c > 0) 轨线的形状，我们只需考虑 m c = λφ 的情况，其中 0 < λ < ϕ m 。首先注意到：方程 λ λ = 2 − 2 1 1 r x x e 具有一个解 0 1 1 1 x = x' < x 和另一个解 0 1 1 1 x = x' ' > x 。因此，当 1 1 x < x' 或 1 1 x > x' ' 时，方程 r x m r x x e x x e φ λ φ λ λ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = − − 2 2 1 1 1 2 1 2 2 ( ) 没有解 2 x 。当 1 1 x = x' 或 1 1 x = x' ' 时，这个方程具有唯一的解 0 2 2 x = x ，而对于 1 1 1 x' < x < x' ' ，则具有两个解 ' ( ) 2 1 x x 和 ' ' ( ) 2 1 x x 。较小的解 ' ( ) 2 1 x x 总是小于 0 2 x ，较 大的解总是大于 0 2 x 。当 1 x 趋于 1 x' 或 1 x' ' 时， ' ( ) 2 1 x x 和 ' ' ( ) 2 1 x x 都趋向于 0 2 x 。因此