当x1和x2是正数时,由(20)所定义的曲线都是封闭的。而且,这些封闭曲线中的每 条(除x1=x和x2=x2以外),都不含(17)和(18)的任何平衡点。所以(17) 和(18)的具有初始条件x1(0)>0,x2(0)>0的所有的解x1(1),x2()都是时间的 周期函数。也就是说,(17)和(18)的具有初始条件x1(0)>0,x2(0)>0的每一个 解x1(1),x2(1)都具有这样的性质 x(+)=x(0),x1(+7)=x1(),其中T是某x-- 一正数 D'Ancona所用的数据实际上是捕食者的百分比 Q 在每一年中的平均值。因此,为了把这些数据同方程x 组(17)和(18)的结果进行比较,对于(17)和(18) 的任何解x1(1),x2(1),我们必须算出x1()和x2(1) 的“平均值”。值得注意的是,即使还没有准确地求 得x1()和x2(1),我们仍然能够算出这些平均值 引理2设x1(1),x2()是(17)和(18)的周期解,其周期T>0,x1(1)和x2() 的平均值定义为 x1= TJo(n)dt x2()d 这时,x1=x,x2=x2。换句话说,x1(t)和x2(1)的平均值是平衡解 证明把(17)的两端除以x,得到上(D-x2,于是 Soxudt=rjlr-2x2(ldt 由于 dt=lnx1(7)-lnx1(0)=0 x541x2(1)dh= idt=r 于是,x2=。类似地,把(18)的两端除以Tx2(),由0到T积分,我们得到xr2。 下面,我们考虑渔业对于上述数学模型的影响。注意到渔业使得食饵总数以速率 6x1减少,而使得捕食者的总数以速率2减少。常数E反映渔业的水平;即反映了海 上的渔船数和下水的网数。因此,真实的状态由下列修正的微分方程组来描述 ∫x1()=x(n-x1)-x1=(-E)x1-1xx2 (23) x2(1)=x2(-F2+A2x1)-x2=-(12+E)x2+A2x1x2 这个方程组同(17),(18)完全一样(当-E>0时),只是其中换成n-E,而吃 换成n+E。因此,现在x1(1)和x2(D)的平均值是-177- 当 1 x 和 2 x 是正数时，由（20）所定义的曲线都是封闭的。而且，这些封闭曲线中的每 一条（除 0 1 1 x = x 和 0 2 2 x = x 以外）， 都不含（17）和（18）的任何平衡点。所以（17） 和（18）的具有初始条件 (0) 0 x1 > ， (0) 0 x2 > 的所有的解 ( ) 1 x t ， ( ) 2 x t 都是时间的 周期函数。也就是说，（17）和（18）的具有初始条件 (0) 0 x1 > ， (0) 0 x2 > 的每一个 解 ( ) 1 x t ， ( ) 2 x t 都具有这样的性质： ( ) ( ) 1 1 x t + T = x t ， ( ) ( ) 2 2 x t + T = x t ，其中T 是某 一正数。 D'Ancona 所用的数据实际上是捕食者的百分比 在每一年中的平均值。因此，为了把这些数据同方程 组（17）和（18）的结果进行比较，对于（17）和（18） 的任何解 ( ) 1 x t ， ( ) 2 x t ，我们必须算出 ( ) 1 x t 和 ( ) 2 x t 的“平均值”。值得注意的是，即使还没有准确地求 得 ( ) 1 x t 和 ( ) 2 x t ，我们仍然能够算出这些平均值。 引理 2 设 ( ) 1 x t ， ( ) 2 x t 是（17）和（18）的周期解，其周期T > 0， ( ) 1 x t 和 ( ) 2 x t 的平均值定义为 ∫ = T x t dt T x 0 1 1 ( ) 1 ， ∫ = T x t dt T x 0 2 2 ( ) 1 这时， 0 1 1 x = x ， 0 2 2 x = x 。换句话说， ( ) 1 x t 和 ( ) 2 x t 的平均值是平衡解。 证明 把（17）的两端除以 1 x ，得到 1 1 2 1 1 ( ) r x x x t = − λ & ，于是 ∫ ∫ = − T T r x t dt T dt x t x t T 0 1 1 2 0 1 1 [ ( )] 1 ( ) 1 ( ) λ & 由于 ∫ = − = T dt x T x x t x t 0 1 1 1 1 ln ( ) ln (0) 0 ( ) & ( ) 因此， ∫ ∫ = = T T r dt r T x t dt T 0 1 0 1 2 1 1 ( ) 1 λ ， 于是， 1 1 2 λ r x = 。类似地，把（18）的两端除以 ( ) 2 Tx t ，由 0 到T 积分，我们得到 2 2 1 λ r x = 。 下面，我们考虑渔业对于上述数学模型的影响。注意到渔业使得食饵总数以速率 1 εx 减少，而使得捕食者的总数以速率 2 εx 减少。常数ε 反映渔业的水平；即反映了海 上的渔船数和下水的网数。因此，真实的状态由下列修正的微分方程组来描述： ⎩ ⎨ ⎧ = − + − = − + + = − − = − − 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t x r x x r x x x x t x r x x r x x x λ ε ε λ λ ε ε λ & & （23） 这个方程组同（17），（18）完全一样（当 0 r1 −ε > 时），只是其中 1 r 换成 −ε 1r ，而 2r 换成 + ε 2r 。因此，现在 ( ) 1 x t 和 ( ) 2 x t 的平均值是