0<2=√(x-x0)2+(0y-8)2<6的一切点P(x,)∈D,都有(x,y)-4<e 成立,则称常数A为函数f(x,y)当x→7,y→y时的极限,记作 lim f(x,y)=A 或∫(xy)→A(→0),这里P=|P3 为了区别于一元函数的极限,我们把二元函数的极限叫做二重极限 f(x,y)=( x2+y2≠0 lm f(x,y)=0 证明 证因为 2+)+-+12+y+中 见,对任给E>0,取6=√,则当0<√x-02+(y-0)2<6时, 总有 x"+y"sin <E 成立 lim f(x,y)=0 所以x→ 注:所谓二重极限存在,是指P(x,y)以任何方式趋于20(x,y)时,函数都无限接 近于A因此,如果F(x,y)以某一种特殊方式,例如沿着一条直线或定曲线趋于 B0(x,y)时,即使函数无限接近于某一确定值,我们还不能由此断定函数的极限存在但 是反过来,如果当(x,y)以不同方式趋于(x,y)时,函数趋于不同的值,那么就可 以断定这函数的极限不存在下面用例子来说明这种情形 x2+y2≠0, 显然,当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时 lm f(x, 0)=lim 0=0 又当点 F(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时, lm f(o, y)= lim 0=0 虽然点F(xy)以上述两种特殊方式(沿x轴或沿y轴)趋于原点时函数的极限存在并且相 lim f(x, y) 等但是y0并不存在这是因为当点F(x,y)沿着直线y=kx趋于点(00 him x 时,有y=k→0 x2+k2y2-1+k2 显然它是随着k的值的不同而改变的 四.多元函数的连续性 有了多元函数极限的概念,就不难说明多元函数的连续性的一切点 ，都有 成立，则称常数 为函数 当 ， 时的极限，记作       ， 或 （ ），这里 . 为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限. 例8-6 设 （ ）， 证明 . 证 因 为 ， 可 见，对任给 ，取 ，则当 时， 总有 成立 所以 注：所谓二重极限存在，是指 以任何方式趋于 时，函数都无限接 近于A.因此，如果 以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于 时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在.但 是反过来，如果当 以不同方式趋于 时，函数趋于不同的值，那么就可 以断定这函数的极限不存在.下面用例子来说明这种情形. 显然，当点 沿 轴趋于点 时， ；又当点 沿 轴趋于点 时， . 虽然点 以上述两种特殊方式(沿x轴或沿y轴)趋于原点时函数的极限存在并且相 等,但是 并不存在.这是因为当点 沿着直线 趋于点 时,有 ， 显然它是随着 的值的不同而改变的. 四．多元函数的连续性 有了多元函数极限的概念，就不难说明多元函数的连续性