定义设函数J∫(x,y)在开区域(闭区域)D内有定义,0(x0,0)是D的内点或 边界点且 ∈D如果 lim f(x,y)=f(xo, yo) 则称函数f(x,y)在点(x0,y0)连续 定义如果函数∫(x,y)在开区域(或闭区域)D内的每一点连续,那么就称函数 ∫(x,y)在D内连续,或者称(x,y)是D内的连续函数 以上关于二元函数的连续性概念,可相应地推广到x元函数J(2)上去 若函数∫(xy)在点0(x0,y)不连续,则称B为函数∫(x,y)的间断点这里顺便 指出:如果在开区域(或闭区域)D内某些孤立点,或者沿D内某些曲线,函数 f(x,y)没有定义,但在D内其余部分都有定义,那么这些孤立点或这些曲线上的点, 都是函数f(xy)的不连续点,即间断点 与闭区域上一元连续函数的性质相类似,在有界闭区域上多元连续函数也有如下性 质 性质1(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上一定 有最大值和最小值这就是说,在D上至少有一点B及一点B2,使得f()为最大值而 J(2)为最小值,即对于一切P∈D.有 f(2)≤f(2)≤f(21) 性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不 同的函数值,则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次特殊地,如果是 函数在D上的最小值m和最大值M之间的一个数,则在D上至少有一点g,使得 f()=4 元函数中关于极限的运算法则,对于多元函数仍然适用:根据极限运算法则,可 以证明多元连续函数的和、差、积均为连续函数:在分母不为零处,连续函数的商是连 续函数多元连续函数的复合函数也是连续函数 与一元的初等函数相类似,多元初等函数是可用一个式子所表示的多元函数,而这 个式子是由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的(这 里指出,基本初等函数是一元函数,在构成多元初等函数时,它必须与多元函数复合) 例如 x+x 是两个多项式之商,它是多元初等函数又例如sn(x+y)是由基本初等函数in与多 项式=x+y复合而成的,它也是多元初等函数 根据上面指出的连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合的连续 性,再考虑到多元多项式及基本初等函数的连续性,我们进一步可以得出如下结论: 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的所谓定义区域是指包含在定义域内的区 域或闭区域 由多元初等函数的连续性,如果要求它在点20处的极限,而该点又在此函数的定 义区域内,则极限值就是函数在该点的函数值,即 f(2)=f(20)定义 设函数 在开区域（闭区域） 内有定义， 是 的内点或 边界点且 .如果 , 则称函数 在点 连续. 定义 如果函数 在开区域（或闭区域） 内的每一点连续，那么就称函数 在 内连续，或者称 是 内的连续函数. 以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到 元函数 上去. 若函数 在点 不连续，则称 为函数 的间断点.这里顺便 指出：如果在开区域（或闭区域） 内某些孤立点，或者沿D内某些曲线，函数 没有定义，但在 内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点， 都是函数 的不连续点，即间断点. 与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性 质. 性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 上的多元连续函数，在 上一定 有最大值和最小值.这就是说，在 上至少有一点 及一点 ，使得 为最大值而 为最小值，即对于一切P∈D, 有 . 性质2（介值定理） 在有界闭区域 上的多元连续函数，如果在 上取得两个不 同的函数值，则它在 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.特殊地，如果 是 函数在 上的最小值 和最大值 之间的一个数，则在 上至少有一点 ，使得 . 一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用；根据极限运算法则， 可 以证明多元连续函数的和、差、积均为连续函数；在分母不为零处，连续函数的商是连 续函数.多元连续函数的复合函数也是连续函数. 与一元的初等函数相类似，多元初等函数是可用一个式子所表示的多元函数，而这 个式子是由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的（这 里指出，基本初等函数是一元函数，在构成多元初等函数时，它必须与多元函数复合）. 例如， 是两个多项式之商，它是多元初等函数.又例如 是由基本初等函数 与多 项式 复合而成的，它也是多元初等函数. 根据上面指出的连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合的连续 性，再考虑到多元多项式及基本初等函数的连续性，我们进一步可以得出如下结论： 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区 域或闭区域. 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 处的极限，而该点又在此函数的定 义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即