学习资料 新教科书的3.2部分 32A的零空间:求解AX=0 这部分是关于AX=0的解空间的问题題。A是方阵或一般的矩阵。显然 X=0是它的解。若A是可逆阵,则X=0是唯一解。若A不可逆,则 AX=0有非零解。每个解X都属于A的零空间.下面我们要找出所有的这些 解,弄清这个重要的子空间 定义:A的零空间是由AX=0的所有的解向量枸成的线性空间。记为 N(4) 验证所有的解向量构成一个子空间。任取解向量X,Y∈N(A)即AX= 0,AY=0.由矩阵乘法有A(X+Y)=0+0=0,A(cX)=cAX=c0=0.因此 X+Y,cX∈N(A)故N(A)为子空间 强调一点:解向量有n个分量。这些解向量X都是R中的向量.故N(A)是 F的子空间。列空间C(A)也是R的子空间 若AX=b,b≠0,则AX=b的解不构成一个子空间。只有b=0时向量 ⅹ=0才是方程的解,而当解集合中不包含X=0时,解集合不构成子空间 3.4节将说明AX=b的解的结构 例1:x+2y+3z=0,即AX=0,其中A=123,X=y Aⅹ=0的解空间是过原点的一个平面。这个平面就是A的零空间。方程x+ 2y+3z=6的解向量也构成一个平面,但不是一个子空间 例2:描述A= 36的零化空间 解:对于AX=0,用消元法￾ ✁ ✂✄ ☎✝✆✝✞✝✟✝✠ 3.2 ✡✝☛ 3.2 A ✠✝☞✍✌✝✎✑✏✓✒✝✔ AX = 0 ✕ ✡✖☛✘✗✚✙✜✛ AX = 0 ✠✘✔✚✌✘✎✜✠✚✢✜✣✘✤ A ✗✘✥✚✦✜✧✘★✘✩✠✘✪ ✦ ✤✓✫✭✬ X = 0 ✗✭✮ ✠✭✔✭✤✓✯ A ✗✭✰✭✱✲✦✴✳✓✵ X = 0 ✗✭✶✭★✔✭✤✓✯ A ✷✸✰✭✱✭✳✓✵ AX = 0 ✹✸✺☞✝✔✝✤✼✻✝✽✝✔ X ✾✝✿✝✛ A ✠✝☞✍✌✝✎✑✤✼❀✍❁✑❂✝❃✝❄✝❅✍❆✑❇✹ ✠✕✝❈ ✔ ✳✓❉✝❊✕✽✝❋✝❄✝✠✝●✍✌✝✎✑✤ ❍✘■✏ A ✠✘☞✚✌✘✎ ✗✚❏ AX = 0 ✠✘❇✹ ✠✘✔✚❑✜▲✘▼✘◆✘✠✘❖✘P✚✌✘✎✜✤❘◗✘❙ N(A) ✤ ❚✘❯❇ ✹ ✠✘✔✚❑✜▲✘▼✘◆★✽✭●✚✌✭✎✜✤❘❱✘❲✭✔✚❑✴▲ X, Y ∈ N(A) ❳ AX = 0, AY = 0 ✤ ❏ ✪ ✦✜❨✘❩✘✹ A(X + Y )=0+0=0,A(cX)=c·AX=c·0=0 ✤✸❬✜❭ X + Y ,cX ∈ N(A) ❪ N(A) ❙✝●✍✌✝✎✑✤ ❫✝❴ ★✝❵✏❛✔✍❑✑▲✹ n ✽ ☛ ▲✝✤ ✕✝❈✔✍❑✑▲ X ✾✝✗ Rn ❜ ✠✍❑✑▲✝✤ ❪ N(A) ✗ Rn ✠✝●✍✌✝✎✑✤✓❝✍✌✝✎ C(A) ❞✝✗ Rn ✠✝●✍✌✝✎✑✤ ✯ AX = b, b 6= 0 ✳❛✵ AX = b ✠✝✔✷▼✝◆★✽✝●✍✌✝✎✑✤❢❡ ✹ b = 0 ❣ ❑✑▲ X = 0 ❤✑✗✝✥✝✐✠✝✔✳✴❥✍❦ ✔✝❧✝♠ ❜ ✷✍♥✑♦ X = 0 ❣✝✳ ✔✓❧✝♠✷▼✝◆✝●✍✌✝✎✑✤ 3.4 ♣✑q✝r✍s AX = b ✠✝✔✝✠✝t✝▼✝✤ ✉ 1 ✏ x+2y+3z = 0 ✳✈❳ AX = 0 ✳①✇ ❜ A= h 1 2 3 i ✳ X =    x y z    ✤ AX = 0 ✠✝✔✍✌✝✎ ✗✝②✝③✝❵✠ ★✽✝④✍❁✑✤ ✕✽✝④✍❁✑⑤✗ A ✠✝☞✍✌✝✎✑✤ ✥✝✐ x + 2y + 3z = 6 ✠✝✔✍❑✑▲❞ ▼✝◆★✽✝④✍❁ ✳✓⑥✝✷✝✗✝★✽✝●✍✌✝✎✑✤ ✉ 2 ✏✓⑦✝⑧ A = " 1 2 3 6 # ✠✝☞✝⑨✍✌✝✎✑✤ ✔✝✏✓⑩✛ AX = 0 ✳✓❶✍❷✑❸✝❩ 1