+2x2=0 x1+2r2=0 1+6x2=0 事实上,只有一个方程。这是因为笫二个方程相当于笫一个方程的两边同乘以 3。故x1+2x2=0与3x1+6r2=0是相同的。直线x1+2x2=0即为 描述解的直线的一种有效的方法是給岀直线上一点,即一个特解。直线上所 有的点都可以用这一特解的倍数来表示。我们设x2=1,从x1+2x2=0知 x2=-2。则特解(-2,1)生成零空间N(4) (A)={cslc∈R,s 通过AX=0的特解得到N(A)。这是描述N(A)的一种最好的方法。N(A) 是这些特解的所有的线性鉏合。这个例子中,我们只有一个特解,所以得到的零 空间是一条直线 对于例1中的平面,我们有2个特解:1=1,2=0它们在 A=123的零空间x+2y+3z=0上。这个平面上的所有向量均为 s1,s2的线性组合 注意这个例子中的特解81,82的特别之处:首先,它们的后两个分量中都含 有1,0。这些分量是自由的。我们可以给它们以特殊的值。而第一个分量-2, 3则是由AX=0决定的 23的第一列含有主元1,故X的第一个分量不是自由的 我们只需对没有主元的那些列所对应的自由分量給以特定的值0,1。通过下 面的几个例子,我们会清楚的看到这种用特解来描述零空间的完美性。 例3.描述以下3个矩阵的零空间。 A 1224 解:AX=0只有零解X=0。零空间N(A)=Z只有一个零向量X=0" x1 + 2x2 = 0 3x1 + 6x2 = 0 # → " x1 + 2x2 = 0 0 = 0 # ❹✲❺✴❻✳ ❡ ✹✭★✽ ✥✭✐✤ ✕ ✗ ❬✴❙✲❼✴❽✭✽✥✭✐✭❾✲❦✴✛ ❼ ★✽ ✥✭✐✠✭❿✭➀✲➁ ❨✲➂ 3 ✤ ❪ x1 + 2x2 = 0 ➃ 3x1 + 6x2 = 0 ✗✘❾ ➁✜✠✘✤✓➄✘❖ x1 + 2x2 = 0 ❳ ❙ N(A) ✤ ⑦✝⑧✝✔✝✠✝➄✝❖✝✠ ★✝➅✝✹✝➆✠✥✝❩✝✗✝➇ ❆✑➄✝❖✝❻★✝❵✝✳✸❳✑★✽✝➈✝✔✝✤✓➄✝❖✝❻✝❇ ✹ ✠ ❵✘✾✘✰✚➂✜❶ ✕ ★➈✘✔✘✠✘➉✘➊✘➋✘➌✘➍✘✤✓❂✓❃✘➎ x2 = 1 ✳✓➏ x1 + 2x2 = 0 ➐ x2 = −2 ✤ ✵➈✝✔ (−2, 1) ➑ ◆✝☞✍✌✝✎ N(A) ✏ N(A) ={c · s | c ∈ R, s = " −2 1 # } ✤ ➒② AX=0 ✠➓➈➓✔➓➔➓→ N(A) ✤ ✕ ✗ ⑦➓⑧ N(A) ✠★➓➅➓➣➓↔✠✥➓❩✤ N(A) ✗✕✝❈➈✝✔✝✠✝❇✹ ✠✝❖✝P✝↕✝♠✝✤ ✕✽✉● ❜ ✳ ❂✝❃✍❡ ✹✝★✽✝➈✝✔✳ ❇ ➂➔✝→✝✠✝☞ ✌✝✎ ✗✝★✝➙ ➄✝❖✝✤ ⑩ ✛✉ 1 ❜ ✠✝④✍❁ ✳ ❂✝❃✹ 2 ✽✝➈✝✔✝✏ s1=    −2 1 0    ✳ s2=    −3 0 1    ✮ ❃✝➛ A = h 1 2 3 i ✠✘☞✚✌✘✎ x + 2y + 3z = 0 ❻✘✤ ✕✽✘④✚❁✜❻✘✠✘❇✹ ❑✜▲✘➜✘❙ s1, s2 ✠✝❖✝P✝↕✝♠✝✤ ➝✝➞✝✕✽✉● ❜ ✠✝➈✝✔ s1, s2 ✠✝➈✝➟✝➠✝➡✝✏✓➢✝➤✳✓✮ ❃✝✠✝➥✝❿✝✽☛ ▲ ❜ ✾✝♦ ✹ 1 ✳ 0 ✤ ✕➓❈☛ ▲✗➧➦✼❏ ✠➓✤➨❂➓❃✰➩➂➫➇➓✮❃ ➂➈➓➭➓✠➓➯✝✤ ❥ ❼ ★✽ ☛ ▲ −2 ✳ −3 ✵✝✗✍❏ AX = 0 ➲ ❍✠✝✤ A = h 1 2 3 i ✠✍❼ ★ ❝♦✝✹✝➳✝❸ 1 ✳✓❪ X ✠✍❼ ★✽ ☛ ▲ ✷✘✗➵➦✑❏ ✠ ✳ ❂✝❃✍❡✑➸✝⑩✝➺✹✝➳✝❸✠✝➻❈❝✘❇✝⑩✘➼✝✠ ➦✑❏✜☛▲➇✍➂➈❍✠✘➯ 0 ✳ 1 ✤ ➒② ❀ ❁✑✠✝➽✝✽✉● ✳ ❂✝❃✝➾❊✍➚ ✠✝➪✝→ ✕ ➅✝❶ ➈✝✔✝➋✝⑦✝⑧✝☞✍✌✝✎✑✠✍➶✑➹✝P✝✤ ✉ 3. ⑦✝⑧ ➂❀ 3 ✽✝✪ ✦✠✝☞✍✌✝✎✑✤ A = " 1 2 3 8 # ✳ B = " A 2A # =      1 2 3 8 2 4 6 16      ✳ C = h A 2A i = " 1 2 2 4 3 8 6 16 # ✔➓✏ AX = 0 ❡ ✹ ☞➓✔ X=0 ✤➘☞➩✌➓✎ N(A) = Z ❡ ✹➓★✽➓☞➩❑➫▲ X=0 ✤ 2