由消元法 0 12|x1 0 38x2 0 0 由于方阵A是可逆的,故没有其它解。N(A)只含有X=0 对于矩阵 BX=0中的前2个方程要求X=0,后2 个方程也要求X=0。当我们再添加一些方程时,零空间是不会变大的。当我 们給矩阵B添加一行时,在零空间中我们将对X添加新的限制条件 对于矩阵C就不同了。它是在A上添加了几列,而不是几行。解向量X有 4个分量。消元法使得前两列中产生主元,而后两个非主元列是自由的 1224 U=1224 0204 主元列自由列 对于自由变量x3,x4,我们可以给特定的值0,1。而非自由变量x1,x2则 UX=0给出。这样就可以得到N(C)(N(U)的两个特解 PLoo 0 variables 特解是81= 和s2= 0 下面有更多讨论。继续应用消元法。对上三角阵,我们将从两方面继续化简 这个矩阵, 应用向上消元法,将主元上面的元素化为0 2.用整行除以它的主元,将主元化为1 以上的这些变换不会改变方程右端的零向量。零空间仍然不变。当我们用上 面的变换得到R时,零空问将很容易看出:❏✝❷✑❸✝❩ " 1 2 3 8 # " x1 x2 # = " 0 0 # −→ " 1 2 0 2 # " x1 x2 # = " 0 0 # ➔ " x1 = 0 x2 = 0 # ✤ ❏✑✛✝✥✍✦ A ✗✝✰✝✱✠ ✳✓❪➺ ✹✝✇✝✮✔✝✤ N(A) ❡ ♦✝✹ X = 0 ✤ ⑩ ✛✪ ✦ B ✳ N(B) = Z ✤ BX = 0 ❜ ✠✝➴ 2 ✽ ✥✝✐❄✝✒ X = 0 ✳ ➥ 2 ✽ ✥✝✐✝❞❄✝✒ X = 0 ✤ ❦ ❂✝❃✝➷✝➬✝➮★❈ ✥✝✐✓❣✖✳ ☞✍✌✝✎ ✗✝✷➾✝➱✘✃✝✠✘✤ ❦ ❂ ❃➇ ✪ ✦ B ➬✝➮★✝❐✝❣✝✳ ➛✝☞✍✌✝✎ ❜ ❂✝❃q ⑩ X ➬✝➮✝☎✝✠✝❒✝❮ ➙✝❰✤ ⑩ ✛✪ ✦ C ⑤ ✷ ➁✍ÏÐ✤ ✮✝✗➛ A ❻✝➬✝➮➵ÏÐ➽✝❝✳Ñ❥✝✷✝✗➽❐ ✤Ñ✔✍❑✑▲ X ✹ 4 ✽ ☛ ▲✝✤ ❷✑❸✝❩✝Ò➔✓➴✝❿✝❝ ❜✑Ó ➑✝➳✝❸✝✳✓❥ ➥✝❿✝✽ ✺✑➳✝❸❝✗➵➦✑❏ ✠ C = " 1 2 2 4 3 8 6 16 # −→ U=" 1 2 2 4 0 2 0 4 # ↑ ↑ ↑ ↑ ➳✝❸❝ ➦✑❏ ❝ ⑩ ✛➧➦➫❏ ➱➓▲ x3, x4 ✳ ❂➓❃✰➩➂➫➇➈❍✠➓➯ 0 ✳ 1 ✤ ❥➩✺➩➦➫❏ ➱➓▲ x1, x2 ✵ ❏ UX = 0 ➇ ❆✑✤ ✕✝Ô⑤ ✰✍➂➔✝→ N(C)(N(U)) ✠✓❿✝✽✝➈✝✔✝✤ ➈✝✔✗ s1=      −2 0 1 0      Õ s2 =      0 −2 0 1      ← pivot ← variables ← free ← variables ❀✍❁ ✹✝Ö✍×✑Ø✝Ù✤✓Ú✝Û✝➼❶✍❷✑❸✝❩✤✓⑩✝❻✝Ü✍Ý ✦✑✳ ❂✝❃q✝➏❿✥ ❁✑Ú✘Û✝⑨✍Þ ✕✽✝✪ ✦ ✤ 1. ➼ ❶ ❑✑❻ ❷✑❸✝❩✝✳✓q✝➳✝❸❻✍❁✑✠ ❸✝ß ⑨✝❙ 0 ✤ 2. ❶✍à✑❐✝á✍➂✑✮ ✠ ➳✝❸✝✳✓q✝➳✝❸⑨✝❙ 1 ✤ ➂❻✝✠✕✝❈➱✝â✷➾✝ã✝➱✥✝✐✝ä✝å✠✝☞✍❑✑▲✝✤✓☞✍✌✝✎✑æ✝✬✷ ➱✝✤ ❦ ❂✝❃❶ ❻ ❁✑✠✝➱✝â✝➔✝→ R ❣✝✳ ☞✍✌✝✎ q✝ç✝è✍é ➪✍❆✑✏ 3