1224 1020 R 010 第1行减去第2行做为新的第1行,第2行乘以1/2做为新的第2行,即 得R。最初的两个方程可以化简为x1+2x3=0,x2+24=0。它们恰好是 方程RX=0。其中R的主元列是恒等矩阵。特解仍然是s1,s2。这从RX=0 中更容易看出 在讨论m×η矩阵A,N(A),及N(A)中的特解之前,先强调一点:对 于许多矩阵来说,AX=0的解只有X=0它们的零空间只含有一个向量,即 零向量。生成b=0的列的组合是“零组合”或“平凡纽合”,其解是平凡的即 X=0,但其思想却是不平凡的 种平凡零空间Z的情形是很重要的,这说明A的列向量是线性无关的, 除了零组合以外,再没有哪个列向量的线性合可以给出零向量。从而所有的列 都是主元列,没有一列是自由的。以后你会再次看到这种无关性思想 用消元法解方程AX=0 这是很重要的。我们解有n个未知量的m个方程。用消元法,方程的右边都 是0,通过行变换,左边可以得到简化,随后我们会得到方程的解。请记住解方 程的两个步骤1.向前消无法,使得A变为上三角阵U(或是它的简化形式B) 2.向后代换法,解UX=0或RX=0 你会注意到当A和U的主元个数≤n时向后代换法的一点不同。在本章中 我们是对所有的矩阵来讨论的,而不仅仅是可逆方阵 主元是非零的。主元以下的元素都是0。但可能会出现某一列没有主元。在 这种情形下,不要停止,请继续下一列。请看下面的例子,第一个例子是3×4 矩阵 A=22810 331013 显然 是第一个主元。消去主元下面的 1123 A→0044 0044 第2列主元位置上是0,我们从0的下面找出一个非零的元素,然后进行行 互换,因为这个0元素下面的元素也是0 第2列消元法不起作用;这从U = " 1 2 2 4 0 2 0 4 # −→ R = " 1 0 2 0 0 1 0 2 # ❼ 1 ❐✝ê✝ë ❼ 2 ❐✝ì❙✝☎✝✠✍❼ 1 ❐✝✳ ❼ 2 ❐✝❨✍➂ 1/2 ì ❙✝☎✝✠✍❼ 2 ❐✝✳✸❳ ➔ R ✤ ➣✝í✠✝❿✝✽✥✝✐✝✰✍➂⑨✍Þ✑❙ x1 + 2x3 = 0, x2 + 2x4 = 0 ✤ ✮ ❃✝î↔✝✗ ✥✝✐ RX = 0 ✤ ✇ ❜ R ✠ ➳✝❸❝✗✝ï✝ð✪ ✦ ✤✼➈✝✔✝æ✝✬✗ s1, s2 ✤ ✕ ➏ RX=0 ❜ Ö✝è✍é ➪✍❆✑✤ ➛Ø✝Ù m × n ✪ ✦ A ✳ N(A) ✳✑ñ N(A) ❜ ✠✝➈✝✔✝➠✝➴✳ ➤❫✝❴ ★✝❵✏✑⑩ ✛✝ò✍× ✪ ✦➋r✝✳ AX = 0 ✠✝✔✍❡ ✹ X = 0 ✮❃✝✠✝☞✍✌✝✎✝❡ ♦✝✹✝★✽✍❑✑▲✳➓❳ ☞✍❑✑▲✝✤ ➑ ◆ b = 0 ✠✝❝✝✠✝↕✝♠✗ôó☞✝↕✝♠✝õ ✧ôó④✝ö✝↕✝♠✘õ ✳✓✇✔ ✗ ④✝ö✘✠ ❳ X = 0 ✳✓⑥✓✇✝÷✝ø✝ù✝✗✝✷ ④✝ö✝✠✝✤ ✕ ➅ ④✝ö✝☞✍✌✝✎ Z ✠✝ú✝û✗✝ç❋✝❄✝✠ ✳ ✕ r✍s A ✠✝❝✍❑✑▲✗ ❖✝P✝ü ✙✠ ✳ á ÏÐ☞✝↕✝♠ ➂✑ý✝✳ ➷✝➺✹✝þ✽✝❝✍❑✑▲✝✠✝❖✝P✓↕✝♠✰✍➂✑➇ ❆✑☞✍❑✑▲✝✤ ➏✝❥ ❇ ✹ ✠✝❝ ✾✝✗✝➳✝❸❝ ✳ ➺ ✹✝★❝✗➵➦✑❏ ✠✝✤ ➂➥✝ÿ✝➾✝➷✁￾✝➪✝→ ✕ ➅ü ✙P ÷✝ø · · · ❶➩❷➫❸➓❩✔ ✥➓✐ AX = 0 ✕ ✗➓ç❋➓❄➓✠➓✤➘❂➓❃➓✔✹ n ✽✄✂➐ ▲➓✠ m ✽ ✥➓✐✤ ❶➩❷➫❸➓❩➓✳➘✥➓✐✠ ä➀ ✾ ✗ 0 ✳ ➒②✝❐➱✝â✳✆☎➀ ✰✍➂➔✝→✍Þ✑⑨✳✆✝➥✝❂✝❃✝➾✝➔✝→ ✥✝✐✠✝✔✝✤✆✞✝◗✁✟✝✔✥ ✐ ✠✝❿✝✽✡✠☞☛ 1. ❑✑➴ ❷✑❸✝❩✝✳➫Ò➔ A ➱✝❙✝❻✝Ü✍Ý ✦ U ✌ ✧✝✗✝✮ ✠✍Þ✑⑨✝û✁✍ R) 2. ❑✑➥✁✎✝â❩✝✳ ✔ UX = 0 ✧ RX = 0 ÿ✝➾➝✝➞→ ❦ A Õ U ✠ ➳✝❸✽✝➊ ≤ n ❣ ❑✑➥✁✎✝â❩ ✠ ★✝❵✝✷ ➁✑✤ ➛✁✏✁✑ ❜ ❂✝❃✗ ⑩✝❇✹ ✠✝✪ ✦➋Ø✝Ù✠ ✳✓❥✝✷✁✒✁✒✝✗✝✰✝✱✝✥✍✦✤ ➳✝❸✝✗✍✺☞✝✠✝✤ ➳✝❸✍➂❀✝✠ ❸✝ß✝✾✝✗ 0 ✤ ⑥✝✰✁✓➾✍❆☞✔✡✕★ ❝✝➺✹✝➳✝❸✤✜➛ ✕ ➅ ú✝û✝❀✳✓✷❄✁✖✁✗✳ ✞✝Ú✝Û✓❀★ ❝✝✤✘✞✝➪✘❀✍❁✜✠ ✉● ✳ ❼ ★✽✉●✗ 3 × 4 ✪ ✦ A=    1 1 2 3 2 2 8 10 3 3 10 13    ✫✝✬ a11 = 1 ✗ ❼ ★✽ ➳✝❸✤ ❷✑ë✝➳✝❸❀✍❁✑✠ 2 ✳ 3 A →    1 1 2 3 0 0 4 4 0 0 4 4    ❼ 2 ❝➳✝❸✁✙✁✚❻ ✗ 0 ✳ ❂✝❃➏ 0 ✠✝❀✍❁✑❅✍❆ ★✽ ✺☞✝✠ ❸✝ß✝✳ ✬✝➥✁✛❐✝❐ ✜â ✳ ❬✑❙ ✕✽ 0 ❸✝ß ❀✍❁✑✠ ❸✝ß✝❞✝✗ 0 ✳ ❇ ➂ ❼ 2 ❝ ❷✑❸✝❩✝✷✁✢✁✣✝❶✁✤ ✕ ➏ 4