记号上看有点麻烦,因为我们希望得到的是一个矩形矩阵 接下来看第3列,第2个主元是4(但它在第3列),从第3行中减去第2 行中的元素,使得主元以下元素均为0,得到 1123 U=0044(只有2个主元)(最后一个方程变为0=0 0000 第4列主元位置上也是零,但在它下面没有别的行可以互换,因此向前消元 法结来。这个矩阵有3行4列,但只有两个主元.原方程AX=0看起来含有 3个不同的方程,但笫三个方程是前两个的和,当前两个方程满足时,它是自动 满足的(0=0).消无法揭示了方程纽的一个内在本质 现在用向后代换法来求UX=0的所有解.对有4个未知量,2个主元的 方程是有许多解的。问題是如何把它们全部写出来。一个很妤的方法是把主元变 量与自由变量分开 P.主元变量是x1和x3,这是因为1,3列含有主元; F.自由变量是x2和x4,这是因为2,4列不含主元 自由变量m2和4可以任意取值。向后代换法可以找到主元变量x1和x3(在 笫2章的例子中没有一个变量是自由的.当A可逆时所有的变量都是主无变量) 对于自由变量最简单的选择是0和1。这样就给出了特解 特解 令x2=1,x4=0,通过向后代换法知3=0.,x1=-1; 令r2=0,4=1,通过向后代换法知x3=-1, 这些即是UX=0的特解,因此也AX=0的特解。它们在零空间中,且每 一个解都是它们的线性组合 2-x4 通解为X=x2 0 特解 特解 请再看这个答案,这是本章的主要结果。向量s1=「-11001是令◗✁✥✝❻✝➪✹✝❵✁✦✁✧✝✳ ❬✑❙✝❂✝❃✁★✡✩✑➔✝→✝✠ ✗✝★✽✝✪✝û✝✪ ✦ ✤ ✪❀✘➋✘➪✚❼ 3 ❝ ✳ ❼ 2 ✽ ➳✘❸✘✗ 4(⑥✘✮ ➛✚❼ 3 ❝ ) ✳✓➏ ❼ 3 ❐ ❜ ê✘ë ❼ 2 ❐ ❜ ✠ ❸✝ß✝✳✓Ò➔ ➳✝❸✍➂❀❸✝ß ➜✝❙ 0 ✳ ➔✝→✝✏ U =    1 1 2 3 0 0 4 4 0 0 0 0    (❡ ✹ 2 ✽ ➳✝❸)(➣ ➥ ★✽ ✥✝✐➱✝❙ 0=0) ✤ ❼ 4 ❝➳✝❸✁✙✁✚❻❞✝✗☞ ✳➫⑥➛ ✮ ❀✍❁✑➺✹ ➟✝✠❐✝✰✍➂✜â ✳ ❬✑❭✍❑✑➴ ❷✑❸ ❩ t✁✫✝✤ ✕✽✝✪ ✦✑✹ 3 ❐ 4 ❝ ✳✓⑥ ❡ ✹ ❿✝✽➳✝❸✤ ③✝✥✝✐ AX = 0 ➪✢ ➋♦✝✹ 3 ✽ ✷ ➁✑✠ ✥✝✐✝✳➫⑥ ❼✑Ü✝✽✥✝✐✝✗➴✝❿✝✽✝✠ Õ✳➓❦ ➴✝❿✝✽✥✝✐✁✬✁✭✝❣✝✳➫✮✝✗➵➦✯✮ ✬✁✭✠ (0=0) ✤ ❷✑❸✝❩✁✰➍➵Ï ✥✝✐↕✝✠ ★✽✡✱✑➛✁✏✁✲✝✤ ✔✝➛❶ ❑✑➥✁✎✝â❩ ➋✝✒ UX = 0 ✠✝❇✹✔✝✤✓⑩✹ 4 ✽✁✂➐ ▲ ✳ 2 ✽ ➳✝❸✠ ✥✝✐✝✗✝✹✝ò✍× ✔✝✠✝✤✑✢✑✣✗✁✳✁✴✁✵✝✮ ❃✁✶✡✡✷ ❆✑➋✝✤ ★✽ ç✝↔✠✥✝❩➓✗✁✵✝➳➓❸➱ ▲ ➃➵➦✑❏ ➱✝▲☛✁✸✤ P. ➳✝❸➱✝▲✗ x1 Õ x3 ✳ ✕ ✗ ❬✑❙ 1 ✳ 3 ❝♦✝✹✝➳✝❸✁✤ F. ➦✑❏ ➱✝▲✗ x2 Õ x4 ✳ ✕ ✗ ❬✑❙ 2 ✳ 4 ❝ ✷✝♦✝➳✝❸✤ ➦➫❏ ➱➓▲ x2 Õ x4 ✰➩➂❱➞❲➓➯➓✤ ❑➫➥✄✎➓â❩➓✰➩➂❅➓→ ➳➓❸➱➓▲ x1 Õ x3(➛ ❼ 2 ✑➓✠✉● ❜ ➺ ✹➓★✽➓➱➓▲✗➵➦➫❏ ✠✝✤ ❦ A ✰➓✱➓❣❇ ✹ ✠➓➱➓▲✾➓✗➓➳✝❸➱✝▲) ⑩ ✛➵➦✑❏ ➱✝▲➣ Þ☞✹✝✠✁✺✁✻✗ 0 Õ 1 ✤ ✕✝Ô⑤ ➇ ❆✍ÏÐ➈✝✔✝✤ ➈✝✔ −. ✼ x2=1 ✳ x4=0 ✳ ➒② ❑✑➥✁✎✝â❩✝➐ x3 = 0, x1 = −1 ✤ −. ✼ x2=0 ✳ x4=1 ✳ ➒② ❑✑➥✁✎✝â❩✝➐ x3 = −1, x1 = −1 ✤ ✕✝❈ ❳✑✗ UX = 0 ✠✝➈✝✔✳ ❬✑❭❞ AX = 0 ✠✝➈✝✔✝✤ ✮ ❃✝➛✝☞✍✌✝✎ ❜ ✳✯✽✻ ★✽✝✔✾✝✗✝✮ ❃✝✠✝❖✝P✝↕✝♠✝✤ ➒✔✝❙ X = x2      −1 1 0 0      + x4      −1 0 −1 1      =      −x2 − x4 x2 −x4 x4      (1) ➈✝✔ ➈✝✔ ➒✔ ✞✘➷✘➪✕✽✿✾✿❀✳ ✕ ✗✏✿✑✘✠ ➳❄✘t✿❁✘✤✸❑✜▲ s1 = h −1 1 0 0 i ✗✿✼ 5