r2=1,4=0时的特解。笫2个特解是令r=0,r4=1而得到的。所有的解 都是81,82的线性组合。这两个特解在零空间N(A)中,它们的线性组合张 满了整个零空间 MATLAB零基编码可以计算这些特解,它们还可以研究零空间矩阵N的 列。AX=0的通解是这些列的线性组合。一旦我们有了特解,我们就可以得 到整个零空间 对于每个自由变量都有一个特解。若没有自由变量,则意味着有n个主元变 量,则UX=0和AX=0的解是唯一的,即X=0,所有的变量都是主元变 量,这时N(A)和N(U)都仅合零向量。在没有自由变量,即每列都有主无的 情况下,从零基得到的值将是一个0矩阵 例4求N(U),其中U= 157 U的第2列没有主元,故丌2是自由的,有特解x2=1。由向后带入法有 9x3=0,得x3=0。又由x1+52=0,得x1=5。UX=0的解为数乘以特 解 5 N(U)是R3中的一条直线 0 它是由此特解的倍数构成一个自由变量, N= nulbasis(U)只有一列 我们继续对U使用消元法,使得主元以上元素都为0,主元处为1。7可 以被消去,主元由9变为1。最终将U化R: 157 150 009 化简为R 001 这样可以清楚地看到特解。=[-510 阶梯形矩阵 向前消元法使得A变 这个过程是从一个m×η矩阵A开始的 过行变换,其中包含行变换。当当前列没有主元时,继续下一列。m×n的U 称为阶梯形矩阵 这里有一个4×7阶梯形矩阵。它有3个主元,已用黑体字标出x2 = 1, x4 = 0 ❣ ✠✝➈✝✔✝✤✸❼ 2 ✽✝➈✝✔✗✁✼ x2 = 0, x4=1 ❥➔✝→✝✠✝✤✓❇✹ ✠✝✔ ✾✝✗ s1 ✳ s2 ✠✝❖✝P✝↕✝♠✝✤ ✕❿✝✽✝➈✝✔✝➛✝☞✍✌✘✎ N(A) ❜ ✳✓✮ ❃✝✠✝❖✝P✝↕✝♠✁❂ ✬ Ï à✽✝☞✍✌✝✎✑✤ MATLAB ☞✿❃✿❄✿❅✰✚➂❇❆✿❈✕✘❈➈✘✔✳✓✮ ❃✿❉✰✚➂❇❊●❋ ☞✚✌✘✎✜✪ ✦ N ✠ ❝✝✤ AX = 0 ✠➒✔ ✗✕✝❈❝✝✠✝❖✝P✝↕✝♠✘✤ ★✿❍❂✘❃✹ Ï ➈✝✔✳ ❂✘❃✝⑤✰✚➂➔ → à✽✝☞✍✌✝✎✑✤ ⑩ ✛✻✝✽ ➦✑❏ ➱✝▲✾✝✹✝★✽✝➈✝✔✝✤Ñ✯✝➺✹➵➦✑❏ ➱✝▲✳Ñ✵➞✁■✁❏ ✹ n ✽ ➳✝❸➱ ▲ ✳✼✵ UX = 0 Õ AX = 0 ✠✝✔✗✝✶✝★✠ ✳✓❳ X = 0 ✳ ❇ ✹ ✠✝➱✝▲✾✝✗✝➳✝❸➱ ▲ ✳ ✕ ❣ N(A) Õ N(U) ✾✁✒✝♦☞✍❑✑▲✝✤✓➛✝➺✹➵➦✑❏ ➱✝▲✳✸❳ ✻✝❝ ✾✝✹✘➳✘❸✠ ú✁❑✝❀✳✓➏☞✁❃✝➔✝→✝✠✝➯q✝✗✝★✽ 0 ✪ ✦ ✤ ✉ 4 ✒ N(U) ✳✓✇ ❜ U = " 1 5 7 0 0 9 # U ✠✚❼ 2 ❝✘➺✹✘➳✘❸✘✳✓❪ x2 ✗ ➦✜❏ ✠ ✳✓✹➈✘✔ x2=1 ✤ ❏ ❑✜➥✿▲✿▼❩✘✹ 9x3=0 ✳ ➔ x3=0 ✤✘◆ ❏ x1+5x2=0 ✳ ➔ x1=-5 ✤ UX = 0 ✠✝✔✝❙✝➊❨✍➂➈ ✔✝✏ X = x2    −5 1 0    N(U) ✗ R3 ❜ ✠ ★✝➙ ➄✝❖ ✮✝✗✍❏ ❭✝➈✝✔✝✠✝➉✝➊✝▼✝◆★✽ ➦✑❏ ➱✝▲✳ N = nulbasis(U) ❡ ✹✝★❝ ❂✝❃✝Ú✝Û✝⑩ U Ò✝❶✍❷✑❸✝❩✝✳✓Ò➔ ➳✝❸✍➂❻ ❸✝ß✝✾❙ 0 ✳✓➳✝❸➡✝❙ 1 ✤ 7 ✰ ➂☞❖✍❷✑ë✝✳✓➳✝❸✍❏ 9 ➱✓❙ 1 ✤ ➣✁P✝q U ⑨ R ✏ U = " 1 5 7 0 0 9 # ⑨✍Þ✑❙ R = " 1 5 0 0 0 1 # ✕✝Ô✰✍➂✑❊✍➚☞◗➪✝→✝➈✝✔ s = h −5 1 0 i ❘✁❙û✝✪ ✦ ❑✑➴ ❷✑❸✝❩✝Ò➔ A ➱✝❙ U ✳ ✕✽ ②✝✐✝✗✝➏✝★✽ m × n ✪ ✦ A ✸✁❚✠✝✤ ➒ ②✝❐➱✝â✳✓✇ ❜ ♥✑♦✝❐➱✓â✖✤ ❦✝❦ ➴✝❝✝➺✹✝➳✝❸✝❣✝✳ Ú✝Û✝❀★ ❝✝✤ m × n ✠ U ❯❙ ❘✁❙û✝✪ ✦ ✤ ✕✁❱✹✝★✽ 4 × 7 ❘✁❙û✝✪ ✦ ✤ ✮✝✹ 3 ✽ ➳✝❸✝✳❳❲Ð❶✁❨✁❩✁❬✁❭ ❆✑✤ 6