0 x rrr ar U=00000x2三个主元变量是1,x2,6四个自由变量 0000000 是x3,x4,x5,x7N(U)中有4个特解 问題:这个矩阵的列空间及零化空间是什么? 回答:由于每个列向量都有4个分量,因此它们都在Ⅳ4中.(不在R3中!).由 每个列向量的第4个分量都是0,知列向量的任意的线性组合一列空间中的任 意向量,它的第4个分量都是0.列空间C(U)是由所有形如b=(b1,b2,b3,O) 的向量构成。对于这些向量我们用向后代入法解UX=b。这些向量b是7个 列向量的所有可能的线性组合 零空问NU)是R的一个子空间对于每个自由变量均有一个特解,UX 0的解集合是由四个特解的所有线性组合构成的 由于第3,4,5,7列没有主元,因此自由变量为x3,x4,x5,x7 2.取一个自由变量为1,其余的自由变量取值均为0 3.对于主元变量x1,x2,x6解UX=0 4.这给出了零空间矩阵N中4个特解中的一个 首先,我们可以得到阶梯形矩阵中的非零行这些非零行中的第一个非零的 元素为主元,它们依阶梯形向下排列。通常的行变换(在教学编码plu中)可使 得每个主元以下的元素均化为0 通过统计主元数,我们可以得到一个非常重要的定理。设A的列数大于行 数,也即n>m,这时至少有一个自由变量.AX=0最少有一个特解,且是 非零的 3B若AX=0的未知量的个数大于方程的个数(A的列数大于行数),则它有 非零解 换句话说m×n矩阵的零空间中总有非零向量.因为主元个数不会超过m,至 少有n-m个自由变量.(矩阵只有m行,而每行不会有两个主元.)当然或许 某行没有主元,这意味着又有一个自由变量。强调一点:当有一个自由变量时 可设它为1,则方程AX=0有一个非零解 重复说一下:这里最多有个m个主元.n>m时,AX=0至少有一个自U =      x x x x x x x 0 x x x x x x 0 0 0 0 0 x x 0 0 0 0 0 0 0      Ü✘✽➳✘❸➱✘▲✗ x1, x2, x6 ❪✽ ➦✜❏ ➱✘▲ ✗ x3, x4, x5, x7 N(U) ❜ ✹ 4 ✽✝➈✝✔ ✢✑✣✝✏ ✕✽✝✪ ✦✠✝❝✍✌✝✎ ñ ☞✝⑨✍✌✝✎ ✗✁❫✡❴✡❵ ❛ ✾➓✏ ❏➫✛✻➓✽➓❝➩❑➫▲✾➓✹ 4 ✽ ☛ ▲ ✳ ❬➫❭✮❃✾ ➛ R4 ❜ ✤ (✷ ➛ R3 ❜❝❜) ✤ ❏ ✻✝✽✓❝✍❑✑▲✝✠✍❼ 4 ✽ ☛ ▲ ✾✝✗ 0 ✳✓➐❝✍❑✑▲✝✠✝❱➞✠✝❖✝P✝↕✝♠ – ❝✍✌✝✎ ❜ ✠✝❱ ➞ ❑✑▲✳ ✮ ✠✍❼ 4 ✽ ☛ ▲ ✾✝✗ 0 ✤ ❝✍✌✝✎ C(U) ✗✍❏ ❇ ✹ û✳ b = (b1, b2, b3, 0) ✠✍❑✑▲✝▼✝◆✝✤✴⑩✛✕✝❈ ❑✑▲✝❂✝❃❶ ❑✑➥✁✎✁▼❩ ✔ UX = b ✤ ✕✝❈ ❑✑▲ b ✗ 7 ✽ ❝✍❑✑▲✝✠✝❇✹✝✰✁✓✠✓❖✝P✝↕✝♠✝✤ ☞➩✌➓✎ N(U) ✗ R7 ✠★✽➓●➩✌➓✎➫✤ ⑩ ✛✻➓✽ ➦➫❏ ➱➓▲➓➜✹➓★✽➓➈➓✔✳ UX = 0 ✠✝✔✝❧✝♠✗✍❏ ❪✽✝➈✝✔✝✠✝❇✹ ❖✝P✝↕✝♠✝▼✝◆✝✠✝✤ 1. ❏✑✛ ❼ 3 ✳ 4 ✳ 5 ✳ 7 ❝✝➺✹✝➳✝❸✝✳ ❬✑❭ ➦✑❏ ➱✝▲✝❙ x3, x4, x5, x7 ✤ 2. ❲ ★✽ ➦✑❏ ➱✝▲✝❙ 1 ✳✓✇✁❞✠ ➦✑❏ ➱✝▲✝❲✝➯✝➜✝❙ 0 ✤ 3. ⑩ ✛✝➳✝❸➱✝▲ x1, x2, x6 ✔ UX = 0 ✤ 4. ✕ ➇ ❆✍ÏÐ☞✍✌✝✎✑✪ ✦ N ❜ 4 ✽✝➈✝✔ ❜ ✠ ★✽✝✤ ➢✝➤✳ ❂✝❃✰✍➂➔✝→ ❘✁❙û✝✪ ✦ ❜ ✠ ✺☞❐ ✤ ✕✝❈ ✺☞❐ ❜ ✠✍❼ ★✽ ✺☞✝✠ ❸✝ß ❙ ➳✝❸✝✳✓✮ ❃✁❡❘✁❙û✍❑✑❀✁❢✝❝✘✤ ➒✁❣✠❐ ➱✝â (➛✝✆✡❤☞❄✁❅ plu ❜ ) ✰✝Ò ➔✝✻✝✽➳✝❸✍➂❀✝✠ ❸✝ß ➜✝⑨✝❙ 0 ✤ ➒②✿✐✿❆✘➳✘❸➊ ✳ ❂✘❃✰✚➂➔✘→ ★✽ ✺ ❣ ❋✘❄✭✠ ❍✿❥✤✓➎ A ✠✘❝✘➊✘✃✛✘❐ ➊ ✳ ❞✍❳ n > m ✳ ✕ ❣✁❦✡❧✑✹✝★✽ ➦✑❏ ➱✝▲ ✤ AX=0 ➣✡❧✑✹✝★✽✝➈✝✔✳❇✽✝✗ ✺☞✝✠✝✤ 3B ✯ AX = 0 ✠✁✂➐ ▲✝✠✝✽✝➊✝✃✛✝✥✝✐✠✝✽✝➊ (A ✠✝❝✝➊✝✃✛✝❐➊ ) ✳✓✵✝✮✝✹ ✺☞✝✔✝✤ â✡♠☞♥r m × n ✪ ✦✠✝☞✍✌✝✎ ❜☞♦ ✹✍✺☞✍❑✑▲✝✤✸❬✜❙ ➳✘❸✽✘➊✷ ➾✁♣② m, ❦ ❧✑✹ n − m ✽ ➦✑❏ ➱✝▲✝✤ (✪ ✦ ❡ ✹ m ❐✝✳Ñ❥✻ ❐✝✷➾ ✹ ❿✝✽➳✝❸✤ ) ❦ ✬✧✝ò ✕❐ ➺ ✹✝➳✝❸✝✳ ✕✝➞✁■✁❏ ◆ ✹✝★✽ ➦✑❏ ➱✝▲✝✤ ❫✝❴ ★✝❵✏ ❦✑✹✝★✽ ➦✑❏ ➱✝▲❣✝✳ ✰➎ ✮ ❙ 1 ✳✓✵✝✥✝✐ AX = 0 ✹✝★✽ ✺☞✝✔✝✤ ❋✁qr✝★❀✝✏ ✕✁❱➣✍×✑✹✽ m ✽ ➳✝❸✤ n > m ❣✝✳ AX = 0 ❦✡❧✑✹✝★✽ ➦ 7