由变量和一个非零解。事实上,它有无多个解。这是因为cX0也是一个解 中Ⅺo为特解)。零空间当。包含了一条解直线。当有两个自由变量时,有两个 特解,这时零空间更大 零空问是一个子室间。的“明月数”是自由变量的个数。这种中例想在 章中是有具法定义和细解的 的阶为形矩阵R 11 3 对于阶为形矩阵U=0044,继续用行变换。第2行除以4,使 得两个主元均为1。从第1行中减去新的第2行0011的2倍,这样 就使得笫2个主元上面和下面的元素都为0。化的阶为形矩阵是 1101 R=0011 R的主元为1,主元列上非主元处的元素均为0。用向上消元法可以使得主元 以上元素均为0 原 若A是可逆的,则它的化的行阶为形矩阵R=Ⅰ,其中Ⅰ为恒等矩阵 这是用行变换得到的 R中的0使得我们很容易就找到其特解(和前面一样) 取x2=1,x4=0。解BX=0,则有x1=-1,x3=0 2.取x2=0,x4=1。解RX=0,则有x1=-1,x3=-1 1和0是在 2列中(添加一个就 1和-1是在R的第4列中 添加一个就)。通过变,我们可以从R中得到特解。AX=0或UX=0 或RX=0的通解是这两个特解的线性鉏合。零空间N(A)=N(U)=N(B) 是由以下向量构成的 0 =(AX=0的通解) 书的下一部分将”重讨论R。用 MATLAB但令[B, pimco=rref(A)可❏ ➱✝▲ Õ★✽ ✺☞✝✔✝✤Ñ❹✍❺✑❻✳Ñ✮✓✹ü✁r × ✽✝✔✝✤ ✕ ✗ ❬✑❙ cX0 ❞✝✗✝★✽✝✔ (✇ ❜ X0 ❙✝➈✝✔) ✤✓☞✍✌✝✎ ❦✡❧✝♥✑♦ Ï ★✝➙ ✔✝➄✝❖✝✤ ❦✑✹❿✝✽ ➦✑❏ ➱✝▲❣✝✳✓✹❿✝✽ ➈✝✔✳ ✕ ❣ ☞✍✌✝✎ Ö ✃✝✤ ☞✍✌✝✎ ✗✝★✽✝●✍✌✝✎✑✤ ✮ ✠ óts➊✝õ ✗➵➦✑❏ ➱✝▲✘✠✝✽✘➊✝✤ ✕ ➅ ❜☞✉÷✝ø➛✁✏ ✑ ❜ ✗✝✹✁✈✁❩❍✝■ Õ ✇✁①✔✁②✝✠✝✤ ③⑨✝✠❘✁❙û✝✪ ✦ R ⑩ ✛❘✁❙û✝✪ ✦ U =    1 1 2 3 0 0 4 4 0 0 0 0    ✳ Ú✝Û❶✝❐➱✝â✝✤ ❼ 2 ❐✝á✍➂ 4 ✳ Ò ➔✝❿✝✽➳✝❸➜✝❙ 1 ✤ ➏ ❼ 1 ❐ ❜ ê✝ë☎✝✠✍❼ 2 ❐ h 0 0 1 1 i ✠ 2 ➉ ✳ ✕✝Ô ⑤Ò ➔✍❼ 2 ✽ ➳✝❸❻✸❁ Õ ❀✍❁✑✠ ❸✝ß✝✾❙ 0 ✤ ③⑨✝✠❘✁❙û✝✪ ✦✑✗ R =    1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0    ✤ R ✠ ➳✝❸❙ 1 ✳✓➳✝❸❝✝❻ ✺✑➳✝❸➡✝✠ ❸✝ß ➜✝❙ 0 ✤ ❶ ❑✑❻ ❷✑❸✝❩✝✰✍➂✑Ò➔ ➳✝❸ ➂❻ ❸✝ß ➜✝❙ 0 ✤ ✯ A ✗✝✰✝✱✠ ✳✓✵✝✮ ✠ ③⑨✝✠❐❘✁❙û✝✪ ✦ R = I ✳✓✇ ❜ I ❙ ï✝ð✪ ✦ ✤ ✕ ✗✁④✝❶✝❐➱✝â✝➔✝→✝✠✝✤ R ❜ ✠ 0 Ò ➔✝❂✝❃ç✝è✍é ⑤✝❅✝→ ✇➈✝✔ (Õ ➴✍❁ ★Ô ) ✏ 1. ❲ x2 = 1, x4 = 0 ✤✓✔ RX = 0 ✳✓✵✝✹ x1 = −1, x3 = 0 ✤ 2. ❲ x2 = 0, x4 = 1 ✤✓✔ RX = 0 ✳✓✵✝✹ x1 = −1, x3 = −1 ✤ −1 Õ 0 ✗ ➛ R ✠✍❼ 2 ❝ ❜ (➬✝➮★✽✁⑤✁✥) ✤ −1 Õ −1 ✗ ➛ R ✠✍❼ 4 ❝ ❜ (➬✝➮★✽✁⑤✁✥) ✤ ➒② ➱✁✥✳ ❂✝❃✰✍➂✑➏ R ❜ ➔✝→✝➈✝✔✝✤ AX = 0 ✧ UX = 0 ✧ RX = 0 ✠➒✔ ✗✕❿✝✽✝➈✝✔✝✠✝❖✝P✝↕✘♠✝✤❘☞✍✌✘✎ N(A) = N(U) = N(R) ✗✍❏✝➂❀✍❑✑▲✝▼✝◆✝✠✝✏ X = x2      −1 1 0 0      + x4      −1 0 −1 1      =(AX = 0 ✠➒✔ ) ✤ ✏✘✟✘✠✘❀★✘✡✭☛✘q ❏ ❋Ø✘Ù R ✤ ❶ MATLAB ⑥✿✼ [R, pivcol] = rref(A) ✰ 8