第2期 于建均，等：基于Kinect的Nao机器人动作模仿系统的研究与实现 ·183· Aann=(p4P2.aP2P,）+T 则在给定专下，专4的条件概率也满 3) arccos P3,4P23·P2p1】 IPs4 P2.3Pa P:D 2 足高斯分布，即专l专k~N(u,∑')。 如表1所示，共15个自由度，其中，左肘偏航角 u'k=45+Σk(Σ)(5k-44)(7) LElbowYaw的计算与RElbow Yaw类似，如式(3)所 Σk=k-Σak()1Σ (8) 示，其余各自由度的计算与RElbowRoll类似，如式 由式(7)、(8)可得，K个高斯成分的高斯混合 (2)所示，不同之处在于根据选取向量的方向不同， 模型的均值以'，和方差，。 参照Nao机器人的各自由度角度变化范围，作取负、 p(5I k) 7k= 加减π/2或T的校正，如此，即可得到各自由度一系 p(,1i) (9) 列角度变化信息，也即模仿学习的示教数据。为得 比，=∑n (10) 到平滑稳定的运动轨迹，需对离散数据进行表征学 k=1 习，作进一步的泛化处理，得到连续的运动轨迹。 =呢 (11) 3示教数据的表征与泛化 由专klk~N(uk,∑')分布估计条件期 将各关节角的运动信息，即示教数据，分别利用 望E(1专，)，即u',为，对应的重构空间值，则泛化 GMM进行编码，实现表征学习，通过GMR进行数据 的数据点为'={'，}，该点不包含在示教数据 重构，泛化输出，以得到连续模仿运动轨迹)。 中，但封装了示教行为的所有本质特征，在协方差约 3.1示教数据的表征与泛化 束Σ'，下能够生成平滑的运动轨迹。 3.2实验设计与分析 对任一自由度，设其第j个示教数据点为专= {55},j={1,2,…,N},其中，N是单次示教包 示教者（人）做一套连贯的动作（包括拾臂、伸 含的数据点的个数，专，是关节角，专，是时间值。假 展、挥手等)，经预处理后得到的上肢的9个自由度 设每一个数据点专服从如下概率分布： (包括双臂和头部)的角度变化信息，如图5所示。 将这些数据加入到GMM进行编码，经表征学习后， p()=】 np专I) (4) 利用GMR泛化输出，得到连续的运动轨迹，如图6 式中：p(k)是先验概率，P(1k)是条件概率分布， 所示，可知，经表征和泛化后，得到连续的运动轨迹， 服从高斯分布，于是，整个示教数据集合可以用高斯 而且原始数据中的噪声得到很好的处理，波动性大 混合模型来表示，K即组成高斯混合模型的高斯分 大降低，稳定性增强。 布的个数。 p(k)=Tk 5 r 0 200400 200400 p(专Ik)=N(专；4，Σ：)= 时间步 时间步 00朵00 时间步 1 (a)RShoulderRoll (b)LShoulderRoll (c)REIbowRoll e()r-写7w） (6) √/(2m)1ΣI 式中：D是编码示教数据的GMM的维度。因此，高 200400 0 200400 0 200400 斯混合模型需要确定的参数是{π，山4，Σ}，分别表 时间步 时间步 时间步 (d)LElbowRoll (e)RShoulderPitch (f)LShoulderPitch 示第k个成分的先验概率，期望和方差。采用EM 算法估计GMM的参数，通过在概率模型中寻找参 5 旺 数最大似然估计进行参数学习)。 香 0200400 0200400 200400 示教数据的：用作查询点，对应的空间值”，利 时间步 时间步 时间步 (g)LElbowYaw (h)RElbow Yaw (i)HeadPitch 用GMR进行估计。已知p(专，Ik)满足高斯分布，即 图5示教数据的角度变化信息 N(u4,),其中，h4={44},= E:.8 Fig.5 Angle change information of demonstration dataθＲＥｌｂｏｗＹａｗ ＝ 〈ｐ３，４ ｐ２，３ ，ｐ２ ｐ１ 〉 ＋ π ２ ＝ ａｒｃｃｏｓ ｐ３，４ ｐ２，３·ｐ２ ｐ１ ｐ３，４ ｐ２，３ ｐ２ ｐ１ æ è ç ö ø ÷ ＋ π ２ （３） 如表 １ 所示，共 １５ 个自由度，其中，左肘偏航角 ＬＥｌｂｏｗＹａｗ 的计算与 ＲＥｌｂｏｗＹａｗ 类似，如式（３） 所 示，其余各自由度的计算与 ＲＥｌｂｏｗＲｏｌｌ 类似，如式 （２）所示，不同之处在于根据选取向量的方向不同， 参照 Ｎａｏ 机器人的各自由度角度变化范围，作取负、 加减 π／ ２ 或 π 的校正，如此，即可得到各自由度一系 列角度变化信息，也即模仿学习的示教数据。 为得 到平滑稳定的运动轨迹，需对离散数据进行表征学 习，作进一步的泛化处理，得到连续的运动轨迹。 ３ 示教数据的表征与泛化 将各关节角的运动信息，即示教数据，分别利用 ＧＭＭ 进行编码，实现表征学习，通过 ＧＭＲ 进行数据 重构，泛化输出，以得到连续模仿运动轨迹［８］ 。 ３．１ 示教数据的表征与泛化 对任一自由度，设其第 ｊ 个示教数据点为 ξｊ ＝ ｛ξｓ，ｊ，ξｔ，ｊ｝ ， ｊ ＝ ｛１，２，…，Ｎ｝ ，其中， Ｎ 是单次示教包 含的数据点的个数， ξｓ，ｊ 是关节角， ξｔ，ｊ 是时间值。 假 设每一个数据点 ξｊ 服从如下概率分布： ｐ（ξｊ） ＝ ∑ Ｋ ｋ ＝ １ ｐ（ｋ）ｐ（ξｊ ｜ ｋ） （４） 式中： ｐ（ｋ） 是先验概率， ｐ（ξｊ ｜ ｋ） 是条件概率分布， 服从高斯分布，于是，整个示教数据集合可以用高斯 混合模型来表示， Ｋ 即组成高斯混合模型的高斯分 布的个数。 ｐ（ｋ） ＝ πｋ （５） ｐ（ξｊ ｜ ｋ） ＝ Ｎ（ξｊ；μｋ，Σｋ） ＝ １ （２π） Ｄ ｜ Σｋ ｜ ｅ － １ ２ （（ξｊ －μｋ ） ＴΣｋ －１（ξｊ －μｋ ）） （６） 式中： Ｄ 是编码示教数据的 ＧＭＭ 的维度。 因此，高 斯混合模型需要确定的参数是 ｛πｋ，μｋ，Σｋ｝ ，分别表 示第 ｋ 个成分的先验概率，期望和方差。 采用 ＥＭ 算法估计 ＧＭＭ 的参数，通过在概率模型中寻找参 数最大似然估计进行参数学习［１３］ 。 示教数据的 ξｔ 用作查询点，对应的空间值 ξ′ｓ 利 用 ＧＭＲ 进行估计。 已知 ｐ（ξｊ ｜ ｋ） 满足高斯分布，即 ξｓ，ｋ ξｔ，ｋ æ è çç ö ø ÷÷ ～ Ｎ（μｋ， Σｋ） ，其中， μｋ ＝ ｛μｓ，ｋ，μｔ，ｋ｝ ， Σｋ ＝ Σｓ，ｋ Σｓｔ，ｋ Σｔｓ，ｋ Σｔ，ｋ { } ，则在给定 ξｔ，ｋ 下， ξｓ，ｋ 的条件概率也满 足高斯分布，即 ξｓ，ｋ ｜ ξｔ，ｋ ～ Ｎ（μ′ｓ，ｋ，∑′ｓ，ｋ） 。 μ′ｓ，ｋ ＝ μｓ，ｋ ＋ Σｓｔ，ｋ （Σｔ，ｋ） －１ （ξｔ，ｋ － μｔ，ｋ） （７） Σ′ｓ，ｋ ＝ Σｓ，ｋ － Σｓｔ，ｋ （Σｔ，ｋ） －１ Σｔｓ，ｋ （８） 由式（７）、（８）可得， Ｋ 个高斯成分的高斯混合 模型的均值 μ′ｓ 和方差 Σ′ｓ 。 ηｋ ＝ ｐ（ξｔ ｜ ｋ） Σ Ｋ ｉ ＝ １ ｐ（ξｔ ｜ ｉ） （９） μ′ｓ ＝ ∑ Ｋ ｋ ＝ １ ηｋμ′ｓ，ｋ （１０） Σ′ｓ ＝ ∑ Ｋ ｋ ＝ １ η ２ ｋ Σ′ｓ，ｋ （１１） 由 ξｓ，ｋ ｜ ξｔ，ｋ ～ Ｎ（μ′ｓ，ｋ，∑′ｓ，ｋ） 分布估计条件期 望 Ｅ（ξｓ ｜ ξｔ） ，即 μ′ｓ 为 ξｔ 对应的重构空间值，则泛化 的数据点为 ξ′ ＝ ｛ξ′ｓ，ξｔ｝ ，该点不包含在示教数据 中，但封装了示教行为的所有本质特征，在协方差约 束 Σ′ｓ 下能够生成平滑的运动轨迹。 ３．２ 实验设计与分析 示教者（人） 做一套连贯的动作（包括抬臂、伸 展、挥手等），经预处理后得到的上肢的 ９ 个自由度 （包括双臂和头部） 的角度变化信息，如图 ５ 所示。 将这些数据加入到 ＧＭＭ 进行编码，经表征学习后， 利用 ＧＭＲ 泛化输出，得到连续的运动轨迹，如图 ６ 所示，可知，经表征和泛化后，得到连续的运动轨迹， 而且原始数据中的噪声得到很好的处理，波动性大 大降低，稳定性增强。 图 ５ 示教数据的角度变化信息 Ｆｉｇ．５ Ａｎｇｌｅ ｃｈａｎｇｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎ ｄａｔａ 第 ２ 期 于建均，等：基于 Ｋｉｎｅｃｔ 的 Ｎａｏ 机器人动作模仿系统的研究与实现 ·１８３·