“品-门 2 2 1 991-9491-998970-+C 生注形蜘得的（与C均为多现式》有理属数的积分关楼是将有理真分式分解 成部分分式之和，而部分分式都有具体的积分方法，对于假分式则要化为真分式与多项式之 和 例40求∫5+2x+2x司 分析这是无理函数的积分，先要去掉根号化为有理函数的积分，分子分母有理化是常 用去根号的方法之一 √3+2x-2.x- 解∫B+2x+x=可5+2x+2-x5+2-x-可 =J3+2xpk-」2x-l时h 3+2-2x-+c. 例：求 法1小-可导=小女+ =可-京-a-ydc- 1 =arcsin-F-子+C 解法2令1一臣，余下的请读者自行光成。 例2求5+4n2. 分析被积函数是三角有理函数，可用万能公式将它化为有理函数。 解1=m,=1中不，则 5x-5-万g+ =arctan()+C=arctan(tan++C. 注虽然万能代换公式总能求出积分，但对于具体的三角有理函数的积分不一定是最简 便的方法，通常要根据被积函数的特点，采用三角公式简化积分。 2 98 99 2 1 [ (1 ) ] 99(1 ) 99 98 x xd x x − = − − −  2 99 98 98 2 1 [ ] 99(1 ) 99 98(1 ) 98 (1 ) x x dx x x x = − − − − −  2 99 98 97 1 2 1 99(1 ) 99 49(1 ) 99 98 97(1 ) x x C x x x = −  −  + − −  − ． 注 形如 ( ) ( ) P x Q x 的（ P x( ) 与 Q x( ) 均为多项式）有理函数的积分关键是将有理真分式分解 成部分分式之和，而部分分式都有具体的积分方法，对于假分式则要化为真分式与多项式之 和． 例 40 求 1 3 2 2 1 dx + + − x x  ． 分析 这是无理函数的积分，先要去掉根号化为有理函数的积分，分子分母有理化是常 用去根号的方法之一． 解 1 3 2 2 1 3 2 2 1 ( 3 2 2 1)( 3 2 2 1) x x dx dx x x x x x x + − − = + + − + + − + − −   1 1 2 2 1 1 (3 2 ) (2 1) 4 4 = + − − x dx x dx   3 3 2 2 1 1 (3 2 ) (2 1) 12 12 = + − − + x x C ． 例 41 求 a x dx a x + −  ． 解法 1 2 2 2 2 2 2 a x a x x 1 dx dx a dx dx a x a x a x a x + + = = + − − − −     1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 a dx a x d a x a x − = − − − −   2 2 arcsin x a a x C a = − − + ． 解法 2 令 a x t a x + = − ，余下的请读者自行完成． 例 42 求 1 5 4sin 2 dx + x  ． 分析 被积函数是三角有理函数，可用万能公式将它化为有理函数． 解 令 t x = tan ， 2 1 1 dx dt t = + ，则 2 1 1 5 4sin 2 5 8 5 dx dt x t t = + + +   5 4 5 2 3 3 4 3 3 1 1 ( ) 3 ( ) 1 d t t = + + +  1 5 4 arctan( ) 3 3 3 = + + t C 1 5 4 arctan( tan ) 3 3 3 = + + x C ． 注 虽然万能代换公式总能求出积分，但对于具体的三角有理函数的积分不一定是最简 便的方法．通常要根据被积函数的特点，采用三角公式简化积分．