第六章微分中值定理及其应用 习题 §1拉格朗日定理和函数的单调性 1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点5,使∫(2)=0: (1)f(x)= xSn-0<x≤-, n(2)f(x) 1≤x≤ 0.x=0 2、证明:(1)方程x-3x+c=0(这里c为常数)在区间[0,1内不可能有两个不 同的实根 (2)方程x"+px+q=0(n为正整数,p、q为实数)当n为偶数时至多有两个实 根;当n为奇数时至多有三个实根 3、证明定理6、2推论2 4、证明(1)若函数f在a,b]上可导,且f(x)≥m,则 f(b)≥f(a)+m(b-a) (2)若函数f在[a,b]上可导,且f(x)M,则 f(b)-f(a)k≤M(b-a) (3)对任意实数x1,x2,都有|snx1-snx2图x2-x1 5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式: In ,其中0<a<b b h (1+2 arctan h<h,其中h>O。 6、确定下列函数的单调区间: (1)f(x)=3x-x2 (2)f(x)=2x2-hx; (3)f(x)=y2x (4)f(x)= 7、应用函数的单调性证明下列不等式 (1)tanx>x-,x∈(0,) (2)一<snx<x,x∈(0,) (3)x--<l(1+x)<x 2(1+x)1 第六章 微分中值定理及其应用 习题 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点  ，使 f ( ) = 0 ： （1）     =   = 0, 0; , 1 ,0 1 sin ( ) x x x x f x  （2）f（x）=|x|，-1≤x≤1。 2、证明：（1）方程 3 0 3 x − x + c = （这里 c 为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不 同的实根； （2）方程 x + px + q = 0 n （n 为正整数，p、q 为实数）当 n 为偶数时至多有两个实 根；当 n 为奇数时至多有三个实根。 3、证明定理 6、2 推论 2。 4、证明（1）若函数 f 在[a，b]上可导，且 f (x)  m ，则 f（b）≥f（a）+ m（b - a）； （2）若函数 f 在[a，b]上可导，且 | f (x) | M ，则 |f（b）- f（a）|≤M（b-a）； （3）对任意实数 1 x ， 2 x ，都有 |sin sin | | | 1 2 2 1 x − x  x − x 。 5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1） a b a a b b b a −   − ln ，其中 0<a<b； （2） h h h h   + arctan 1 2 ，其中 h>0。 6、确定下列函数的单调区间： （1）f（x）= 2 3x − x ； （2）f（x）= 2x ln x 2 − ； （3）f（x）= 2 2x − x ； （4）f（x）= x x 1 2 − 。 7、应用函数的单调性证明下列不等式： （1） ) 3 , (0, 3 tan 3   − x  x x x ； （2） ) 2 sin , (0, 2    x  x x  x ； （3） , 0 2(1 ) ln(1 ) 2 2 2  + −  +  − x x x x x x x