8、以s(x)记由(a,f(a),(b,f(b)),(x,f(x))三点组成的三角形面积,试 对s(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。 9、设f为a,b]上二阶可导函数,f(a)=f(b)=0,并存在一点c∈(a,b)使得f(c)>0。 证明至少存在一点ξ∈(a,b),使得∫"(2)<0。 10、设函数f在(a,b)内可导,且∫'单调。证明∫’在(a,b)内连续 1l、设p(x)为多项式,a为p(x)=0的r重实根。证明a必定是p(x)的r-1重 实根 12、证明:设f为n阶可导函数,若方程fx=0有n+1个相异的实根,则方程f(x)=0 至少有一个实根。 13、设a,b>0。证明方程x3+ax+b=0不存在正根 tan x 14、证明: x∈ 15、证明:若函数f,g在区间[a,b上可导,且f'(x)>g'(x),f(a)=g(a),则在(a, b]内有f(x))g(x) §2柯西中值定理和不定式极限 1、试问函数f(x)=x2,g(x)=x3在区间-1,1上能否应用柯西中值定理得到相应的 结论,为什么? 2、设函数f在a,b]上可导。证明:存在ξ∈(a,b),使得 Lf(b)-f(a)=(b2-a2)f(2)。 3、设函数f在点a处具有连续的二阶导数。证明 lim f(a+h)+(a-h)-2/(a) =f"(a) 4、设0<a<B<。证明存在O∈(a,B),使得 B cot e cos B-cosa 5、求下列不定式极限 (1)lm (2)lin sIn x or coS 3x In(1+x)-x tanx-x (3)lim (4)2 8、以 s（x）记由（a，f（a）），（b，f（b）），（x，f（x））三点组成的三角形面积，试 对 s（x）应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。 9、设 f 为[a，b]上二阶可导函数，f（a）=f（b）=0，并存在一点 c (a,b) 使得 f（c）>0。 证明至少存在一点   (a,b) ，使得 f ( )  0。 10、设函数 f 在（a，b）内可导，且 f  单调。证明 f  在（a，b）内连续。 11、设 p（x）为多项式，  为 p（x）=0 的 r 重实根。证明  必定是 p (x) 的 r – 1 重 实根。 12、证明：设f 为n阶可导函数，若方程（f x）=0有n+1个相异的实根，则方程 ( ) 0 ( ) f x = n 至少有一个实根。 13、设 a，b>0。证明方程 x + ax + b 3 =0 不存在正根。 14、证明： ) 2 , (0, sin tan   x  x x x x 。 15、证明：若函数 f，g 在区间[a，b]上可导，且 f (x)  g (x), f (a) = g(a) ，则在（a， b]内有 f（x）>g（x）。 §2 柯西中值定理和不定式极限 1、试问函数 2 3 f (x) = x , g(x) = x 在区间[-1，1]上能否应用柯西中值定理得到相应的 结论，为什么？ 2、设函数 f 在[a，b]上可导。证明：存在   (a,b) ，使得 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 2  f b − f a = b − a f   。 3、设函数 f 在点 a 处具有连续的二阶导数。证明： ( ) ( ) ( ) 2 ( ) lim 2 0 f a h f a h f a h f a h =  + + − − → 。 4、设 2 0       。证明存在  (,) ，使得      cot cos cos sin sin = − − 。 5、求下列不定式极限 （1） 0 lim x→ x e x sin −1 ； （2） x x x cos3 1 2sin lim 6 − →  ； （3） 0 lim x→ cos 1 ln(1 ) − + − x x x ； （4） 0 lim x→ x x x x sin tan − − ；